Luften i Umeå - Umeå universitet
Luften i Umeå - Umeå universitet
Luften i Umeå - Umeå universitet
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
En bortfallsanalys av samhällsbyggnadskontoret/miljö- och<br />
hälsoskydds mätningar av luftföroreningsvariablerna kvävedioxid<br />
(NO2) samt partiklar per kubikmeter luft (PM10), uppmätta vid<br />
Västra Esplanaden i centrala <strong>Umeå</strong> där multipel imputation<br />
tillämpats för att erhålla väntevärdesriktiga<br />
gränsöverskridningsfrekvenser.<br />
Gunnar Brandén<br />
Student<br />
VT 2009<br />
Kandidatuppsats, 15 hp<br />
Statistik C, 30 hp<br />
Handledare: Göran Arnoldsson
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
Innehållsförteckning<br />
1. Inledning 5<br />
1.1. Bakgrund 5<br />
1.2. Tidigare Studier 6<br />
1.2.1. Rubin 6<br />
1.2.1.1. Missing Completely At Random (MCAR) 6<br />
1.2.1.2. Missing At Random (MAR) 7<br />
1.2.1.3. Ignorerbar Bortfallsmekanism 7<br />
1.2.1.4. Icke-ignorerbar Bortfallsmekanism 8<br />
1.2.2. Palma och Del Pino 8<br />
1.2.3. Hopke, Liu och Rubin 9<br />
1.2.4. Hoffman 9<br />
2. Datamaterialet 12<br />
2.1. Presentation 12<br />
2.2. Mätning av NO2 12<br />
2.3. Mätning av PM10 12<br />
2.4. Tidigare redovisning av data 12<br />
2.5. Datafångst 15<br />
2.5.1. NO2 15<br />
2.5.2. PM10 16<br />
3. Metoder 17<br />
3.1. Listvis uteslutning 17<br />
3.2. Medelvärdessubstitution 18<br />
3.3. Regression med konvergerande prediktionsvärden 19<br />
3.4. Box-Jenkin’s modell med prediktion av de saknade observationerna 20<br />
3.5. EM-algoritm 21<br />
3.6. Multipel Imputation (MI) 22<br />
3.7. Val av metod 26<br />
4. Imputationsprocessen 28<br />
2
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
4.1. Analys av en tidsserieprocess 28<br />
4.1.1. Modellering av tidsberoendet 29<br />
4.1.1.1. NO2 29<br />
4.1.1.2. PM10 32<br />
4.1.2. Övriga varaibler av intresse 32<br />
4.2. Tillämpning av multipel imputation 33<br />
4.3. Nya skattningar av gränsöverskridningsfrekvenser 33<br />
4.3.1. NO2 34<br />
4.3.1.1. Timmedelvärde 34<br />
4.3.1.2. Dygnsmedelvärde 35<br />
4.3.1.3. Årsmedelvärde 36<br />
4.3.2. PM10 36<br />
4.3.2.1. Dygnsmedelvärde 37<br />
4.3.2.2. Årsmedelvärde 37<br />
5. Diskussion 38<br />
5.1. Antaganden om MCAR/MAR samt klassificering av bortfallsmekanismen 38<br />
5.2. Slutsatser av tidigare studier 39<br />
5.3. Metodkontroll 40<br />
5.4. Metodens implikationer 40<br />
6. Tillkännagivanden 41<br />
7. Referenser 41<br />
7.1. Litteratur 41<br />
7.2. Artiklar och skrivelser 41<br />
7.3. Övriga källor 42<br />
8. Bilagor…<br />
8.1. 1a 43<br />
8.2. 1b 44<br />
8.3. 2a 49<br />
8.4. 2b 54<br />
8.5. 3a 58<br />
3
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
8.6. 3b 60<br />
8.7. 4a 62<br />
8.8. 4b 66<br />
8.9. 5 68<br />
4
1. Inledning<br />
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
1.1. Bakgrund<br />
I april 1999 antar riksdagen 15 nationella miljökvalitetsmål, varav ett är Frisk Luft vilket innebär att<br />
utomhusluften ska vara så ren att människors hälsa samt djur, växter och kulturvärden inte skadas.<br />
Samhällsbyggnadskontoret/miljö- och hälsoskydd i <strong>Umeå</strong> är tillsynsmyndighet enligt Miljöbalken med<br />
tillhörande förordningar gällande utomhusluften i <strong>Umeå</strong> Kommun. Med utgångpunkt i EU-direktivet<br />
ramdirektivet för luftkvalitet 96/62/EG samt dotterdirektiven 1999/30/EG, 2000/69/EG och 2002/3/EG<br />
har bindande nationella föreskrifter utarbetats i form av Miljökvalitetsnormer (MKN) med avseende<br />
på kvävedioxid (NO2), partiklar (PM10), bly, kolmonoxid, bensen samt marknära ozon där mätning av<br />
de första två ämnena, NO2 samt PM10, visat på normöverskridande värden i <strong>Umeå</strong>. 1<br />
Att data sammanställs på ett korrekt sätt är av största vikt då kommuner kan bli ålagda att<br />
vidta åtgärdsprogram för att förbättra luftkvalitén samt att tillstånd inte får beviljas för verksamheter<br />
som försvårar att normvärden klaras. Därav har man från <strong>Umeå</strong> Kommuns sida efterfrågat en metod<br />
för att ta hand om saknade observationer och mätfel som uppstår i samband med mätning av<br />
variablerna NO2 och PM10, samt hur man bör sammanställa det insamlade datat för att spegla de<br />
lagstadgade normvärdena.<br />
Denna uppsats kommer således fokusera på att dels fastställa en lämplig metod för att ta<br />
hand om det saknade datamaterialet och sedan dra slutsatser om vilka effekter eller konsekvenser<br />
olika lösningar har på detta problem, men även beröra lämpliga analyseringsperspektiv med<br />
tillhörande sammanställningsförfaranden. Datamaterialet kommer att analyseras dels med avseende<br />
på antalet saknade observationer och mätfel, men också med avseende på någon form av systematik<br />
eller trend bland dessa. Denna analys kommer att vara avgörande för valet av metod att handskas med<br />
de saknade observationerna.<br />
Målsättningen är att använda den framtagna metoden för att skatta nya medelvärden och<br />
sedan jämföra dessa med avseende på gränsöverskridningsfrekvens mot de skattningar som gjordes<br />
av Samhällsbyggnadskontoret/miljö- och hälsoskydd i <strong>Umeå</strong> för 2006, 2007och 2008.<br />
1 Samhällsbyggnadskontoret Miljö – och hälsoskydd, (2006-01, 2007-01, 2008-02). <strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong> – Sammanställning av<br />
mätningar vid Västra Esplanaden 2006-01-01 – 2008-12-31. <strong>Umeå</strong> Kommun.<br />
5
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
1.2. Tidigare studier<br />
1.2.1. Rubin<br />
I en numera klassisk artikel 2 av Donald B. Rubin definierar han fyra plausibla antaganden om de<br />
bortfallsmekanismer som påverkar om en observation kommer att saknas eller ej enligt:<br />
1.2.1.1. Missing Completely At Random (MCAR)<br />
Observationer som saknas på en variabel, Y, sägs vara MCAR om sannolikheten för att<br />
observationen kommer att saknas är orelaterad till värdet på Y samt alla andra variabler X (en<br />
variabelvektor), i datsetet:<br />
Pr(Y = saknas Y, X ) = Pr(Y=<br />
saknas)<br />
När MCAR antagandet är uppfyllt för samtliga variabler så kan de observerade värdena på Y ses<br />
som ett subsample av det ursprungliga datasetet, vilket innebär att de ursprungliga<br />
premisserna för antaganden om sannolikhet förblir intakta. Notera att saknade observationer<br />
på Y kan vara relaterade till förekomsten av saknade observationer på någon annan variabel Xi<br />
och fortfarande vara MCAR, restriktionen avser alltså endast värden på de andra variablerna 3.<br />
Exempel:<br />
Låt Y = ålder, X = kön<br />
I en undersökning vill man kartlägga åldersfördelningen i en stad med avseende på kön, detta<br />
med hjälp av en enkät där man ombeds tala om sin ålder (Y = 0, 1, 2, … ) samt om man är man<br />
eller kvinna (X = 0 om man, 1 om kvinna). Om respondenter som vägrat svara på hur gamla de<br />
är också vägrat att svara på om de är en man eller kvinna oaktat könstillhörighet eller ålder,<br />
så är de bortfallna observationerna fortfarande MCAR. Men om exempelvis män i högre<br />
utsträckning än kvinnor vägrat att tala om sin ålder så innebär det att värdet på X innehåller<br />
information om sannolikheten för att Y inte skall observeras, och därmed är de saknade<br />
observationerna inte MCAR.<br />
2 Rubin, D.B. (1976). Inference and missing data. Biometrica, 63, 581-592.<br />
3 Allison, P.D. (2001). Missing Data. Sage University Papers Series on Quantative Applications in the Social Sciences, 07-136.<br />
Thousand Oaks, CA: Sage. p 3-4.<br />
6
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
1.2.1.2. Missing At Random (MAR)<br />
Som namnet antyder så är antagandet om MAR ett svagare antagande än MCAR där<br />
observationer som saknas på en variabel, Y, sägs vara MAR om sannolikheten för saknade<br />
observationer på Y är orelaterad till värdet på Y efter att man kontrollerat för samtliga andra<br />
variabler, X, i datasetet:<br />
Exempel:<br />
Pr(Y= saknas Y, X ) = Pr(Y=<br />
saknas|<br />
X)<br />
I det föregående exemplet så fastställdes det att om män har en högre tendens att vägra delge<br />
sig av sin ålder så är de saknade observationerna på åldersvariabeln Y inte längre MCAR. Skulle<br />
det dock vara så att män vägrade att tala om sin ålder - oavsett vilken ålder de uppnått - så<br />
skulle de saknade observationerna på Y vara MAR. Sannolikheten för saknade observationer på<br />
Y får alltså vara olika mellan mansgruppen och kvinnogruppen, så länge sannolikheten för<br />
saknade observationer på Y inom de bägge grupperna är orelaterad till Y, i detta fall<br />
individernas ålder.<br />
1.2.1.3. Ignorerbar bortfallsmekanism<br />
En bortfallsmekanism sägs vara ignorerbar om:<br />
i. datat kan antas vara minst MAR<br />
ii. de parametrar som styr bortfallsmekanismen är orelaterade till de parameterar som<br />
skall estimeras i modellen.<br />
Att bortfallsmekanismen är ignorerbar innebär i princip att det inte tillför något att försöka<br />
modellera bortfallsmekanismen i estimationsprocessen. Allison (2001) går även så långt som att<br />
se antagandet om MAR och ignorerbarhet som ekvivalent 4.<br />
4 Allison, P.D. (2001). Missing Data. Sage University Papers Series on Quantative Applications in the Social Sciences, 07-136.<br />
Thousand Oaks, CA: Sage. p 5.<br />
7
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
1.2.1.4. Icke-ignorerar bortfallsmekanism<br />
Om datat inte kan antas vara MAR så sägs bortfallsmekanismen vara icke-ignorerbar. Detta<br />
innebär att statistikern bör modellera bortfallsmekanismen för att få tillförlitliga skattningar av<br />
parametrarna i sin modell. Allison (2001) påpekar dock att estimering av bortfallsmekanismen<br />
kräver mycket god förhandskunskap inom undersökningsområdet då datat för det första säger<br />
väldigt lite eller ingenting om vilken modell som kan vara lämplig att använda sig av och för det<br />
andra är väldigt känsligt för just valet av modell.<br />
1.2.2. Palma och Del Pino<br />
Wilfredo Palma och Guido Del Pino 5 har använt data på minivattennivåerna i floden Nilen och<br />
ansatt en Autoregressive Moving Average (ARMA) modell och en Autoregressive Fractionally<br />
Integrated Moving Average (ARFIMA) modell för att jämföra de bägge modellernas egenskaper<br />
med avseende på prediktionsfel i tidsseriedata när saknade observationer förekommer.<br />
Skillnaden mellan en ARMA modell och en ARFIMA modell är att tidsserien i ARFIMA modellen<br />
integreras fraktionellt, dvs med ett tal som inte är ett heltal. För en utförligare förklaring av en<br />
ARFIMA modell hänvisas till Chatfield 2003 6 men kortfattat så är den d:te differensen i en<br />
ARFIMA( p, d, q) modell en fraktionell differens vars binomiala uttryck ej konvergerar enligt:<br />
( 1 )<br />
2 ( d −1)<br />
B d(<br />
d −1)(<br />
d − 2)<br />
⎡<br />
⎤<br />
− ... X<br />
3<br />
d 1−<br />
dB + d<br />
B<br />
B X t = ⎢<br />
−<br />
− ⎥<br />
⎣ 2!<br />
3!<br />
⎦<br />
Där B är en backshiftoperator. Därmed erhålls en oändlig summa av viktade förflutna värden, vilket<br />
gjort att denna typ av modeller kommit att kallas Long-Memory Models och är exempelvis särskilt<br />
användbara för en AR(1) modell vars autokorrelationsfunktion inte ”dör ut” i ett exponentiellt<br />
förlopp 7 , vilket indikerar att observationer långt ifrån varandra fortfarande har ett visst beroende<br />
sinsemellan under förutsättningen att tidsserien i övrigt är stationär.<br />
Slutsatsen som Palma och Del Pino drar är att medan prediktionsfelet i en ARMA modell<br />
växer snabbare än i en ARFIMA modell i takt med att observationer saknas, så minskar också<br />
sedan prediktionsfelet snabbare i en ARMA modell då information återigen förs in i modellen,<br />
5 Palma, W. Del Pino, G. (1999) Statistical Analysis of incomplete long-range dependent data. Biometrica, 86, 4, p 965 – 972.<br />
6 Chatfield, C. (2003). The analysis of Time Series, an introduction. 6 th ed. Chapman & Hall/CRC. p 260-262.<br />
7 Ibid.<br />
t<br />
8
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
dvs då ”glappet” är passerat. För att exemplificera de hastigheter som prediktionsfelet rör sig<br />
med så tog det 55 saknade observationer för att Mean Square Prediction Error (MSPE) skulle<br />
öka till en viss nivå, medan det tog färre än sex observatoner för MSPE att återgå till<br />
ursprungsnivån, i en ARFIMA modell. 8<br />
1.2.3. Hopke, Liu och Rubin<br />
Philip K. Hopke, Chuanhai Liu, och Donald B. Rubin 9 skriver i en tekniskt relativt krävande<br />
artikel om strategier för att hantera saknade observationer genom att titta på tidsseriedata av<br />
luftföroreningar i Arktis och fokuserar sedan på multipel imputation. Jag återkommer till denna<br />
metod senare i uppsatsen men en central insikt som författarna sluter sig till är att<br />
imputationsmodeller i regel inte behöver vara lika exakta som kompletta datamodeller,<br />
eftersom imputationsmodellerna endast påverkar den del av datat som är imputerat. Om<br />
exempelvis en imputationsmodell är 10 % ofullständig för ett dataset med 30 % saknade<br />
observationer så kommer den slutgiltiga modellen endast vara 3 % ofullständig för den<br />
slutgiltiga inferensen.<br />
1.2.4. Hoffman<br />
Szymon Hoffman 10 har tittat på utvecklingen av prediktionsfelet i en tidsserieanalys med bl a<br />
mätningar på NO2 modellerat med ett Artifial Neural Network (ANN) med avseende på en<br />
lookahead variabel. Denna variabel ingick i modellerna som en tidsserieparameter och angav<br />
hur långt fram i tiden den modellerade outputen är ifrån den senast införda inputen, där<br />
modellernas precision förväntas bero på värdet av lookahead. En ANN modell är en matematisk<br />
modell som urpsrungligen utarbetades i ett försök att modellera hur den mänskliga hjärnan<br />
fungerar och kan ses som ett system som sammanbinder en eller flera ”inputs” till ett eller flera<br />
”outputs” på ett sätt som kan vara icke-linjärt men inte behöver vara det och kännetecknas<br />
vanligtvis av en s.k. feed-forward design som indikerar riktningarna i relationerna i ANN modell<br />
enligt:<br />
8 Palma, W. Del Pino, G. (1999) Statistical Analysis of incomplete long-range dependent data. Biometrica, 86, 4, p 965 – 972.<br />
9 Hopke, P.K. Liu, C. Rubin, D.B. (2001) Multiple Imputation for Multivariate Data with Missing and Below-Threshold<br />
Measurements: Time-Series Concentrations of Pollutants in the Arctic. Biometrics, 57, p 22-33.<br />
10 Hoffman, S. (2006). Short-Time Forecasting of Atmospheric NOx Concentration by Neural Networks. Environmental<br />
Engineering Science, Vol.23, No. 4, p. 603 - 609<br />
9
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
Input<br />
Input<br />
Input<br />
Nod 1<br />
Nod 2<br />
Output<br />
ANN modellen ovan består av 3 inputs varav den första till exempel skulle kunna vara en<br />
konstant samt den andra och tredje två olika variabler säg X1 = längd och X2 = ålder. I ett<br />
”mellanskikt” befinner sig noder eller neuroner som kan beskrivas som aktiveringsfunktioner<br />
där först en vikt appliceras mellan varje variabel Xi och varje nod i modellen som beskriver<br />
styrkan i varje koppling enligt:<br />
Därefter konverteras varje kvantitet<br />
v<br />
j<br />
∑<br />
= i<br />
w x<br />
i<br />
i<br />
v till det predikterade värdet för varje nod genom att<br />
j<br />
applicera skiktfunktionen. Denna funktion kan exempelvis vara en logistisk funktion enligt:<br />
z<br />
j<br />
1<br />
=<br />
1 + e<br />
När värden är beräknade för alla noder så går man analogt till väga för att beräkna värden för<br />
(alla) output(s), dvs man viktar en gång till och beräknar återigen via en aktiveringsfunktion<br />
nämligen outputfunktionen. Därmed är output, som vi kan kalla för Y, relaterad till inputen via<br />
följande uttryck 11:<br />
där<br />
− v<br />
⎡⎛<br />
⎛ ⎞ ⎞⎤<br />
y = Φ ⎢⎜<br />
⎟<br />
o ⎜∑<br />
w'<br />
j Φ h ⎜∑<br />
wij<br />
xi<br />
⎟ + w'o<br />
⎟⎥<br />
⎢⎣<br />
⎝ j ⎝ i ⎠ ⎠⎥⎦<br />
Φ o<br />
är aktivationsfunktionen vid output, som vid tidsserieanalys oftast<br />
är en identitetslänk, och<br />
j<br />
Φ h<br />
aktivationsfunktionen vid mellanskiktet.<br />
11 Chatfield, C. (2003). The analysis of Time Series, an introduction. 6 th ed. Chapman & Hall/CRC. p 232.<br />
10
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
I sin studie har Hoffman ansatt två modeller, en modell med ett linjärt beroende mellan<br />
input och output och en med ett icke-linjärt beroende. I bägge fallen använde han sig av<br />
tillgängligt data som input i modellerna och saknade (framtida) data som output. Datat till<br />
studien är inhämtat från två städer i södra Polen: Zabrze (1994 - 1997), samt Kedzierzyn-Kozle<br />
(1994 - 1999) varav Zabrze har uppvisat högre koncentrationer av NO och NO2.<br />
Resultaten av studien visar på flera intressanta aspekter:<br />
i. För det första så var den icke-linjära modellens precision inte distinkt bättre än<br />
den linjära modellens, och Hoffman drar slutsatsen att ”den linjära modellen<br />
förefaller fördelaktig med anledning av dess enkelhet och korta beräkningstid”. 12<br />
ii. För det andra så tyder studien på att predikteringen av NOx har bättre precision<br />
i Zarbze än i Kedzierzyn-Kozle, dvs. i den mer förorenade staden.<br />
iii. För det tredje så visar det sig att precisionen i modelleringen av NOx sjunker<br />
relativt fort vid stigande värden på lookahead. Ett ”bra” precisionsspann<br />
definierades som tidsspannet där korrelationskoefficienten var > 0,8: ett spann<br />
som ofta inte sträckte sig över mer än två tidspunkter för en ANN modell.<br />
iv. Slutligen pekar studien i en enkel jämförelse på att två andra betydligt simplare<br />
metoder, nämligen last-value och linjär interpolation gav minst lika bra<br />
precision om inte bättre.<br />
12 Hoffman, S. (2006). Short-Time Forecasting of Atmospheric NOx Concentration by Neural Networks. Environmental<br />
Engineering Science, Vol.23, No. 4, p. 608<br />
11
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
2. Datamaterialet<br />
2.1. Presentation<br />
I <strong>Umeå</strong> mäts och sammanställs värden av NO2 samt PM10 i luften med hjälp av mätutrustning som<br />
samlar in timmedelvärden för respektive variabel. Denna mätutrustning finns placerad på för<br />
ändamålet strategiska positioner i <strong>Umeå</strong> med avseende på förväntade värden på respektive variabel,<br />
där mätvärden inhämtade från Västra Esplanaden i centrala <strong>Umeå</strong> under 2006, 2007 och 2008 fått<br />
utgöra det data som använts i denna uppsats. Utifrån de uppmätta timmedelvärdena bildas<br />
dygnsmedelvärden där minst 21 av de 24 timmedelvärdena måste uppmätts korrekt för att<br />
dygnsmedelvärdet skall godkännas. Även årsmedelvärden sammanställs utifrån timmedelvärdena för<br />
bägge variablerna. För NO2 beräknas även 98:e percentilen för tim- och dygnsmedelvärdet medan man<br />
för PM10 endast beräknar 90:e percentilen för dygnsmedelvärdet. Det bör också nämnas att antalet<br />
timmar under ett vanligt år är 8760, men eftersom 2008 var ett skottår så uppgår det totala antalet<br />
timmar under tidsperioden till 8760 + 8760 + 8784 = 26304.<br />
2.2. Mätning av NO2<br />
Data registreras av mätaren i ppb och skall sedan omvandlas till µg/m 3. Detta görs via en multiplikator,<br />
K, som för 2006 var 1,91*10 3 samt för 2007 och 2008 var 1,92*10 3 . Dessa olika värden på K anses<br />
korrigera för kalibreringsförändringar och därmed vara direkt jämförbara.<br />
2.3. Mätning av PM10<br />
Data som mätinstrumentet samlar in underskattar partikelhalterna jämfört med EU:s referensmetod<br />
varför det korrigeras uppåt med en multiplikator som för 2006 och 2007 var 1,3 men för 2008 var 1,2.<br />
Dessa olika värden anses korrigera för kalibreringsförändringar och därmed vara direkt jämförbara.<br />
2.4. Tidigare redovisning av data<br />
Samhällsbyggnadskontoret miljö- och hälsoskydd i <strong>Umeå</strong> Kommun sammanställer årligen<br />
mätresultaten under året i en rapport under rubriken ”<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong>”. I denna rapport nämner man<br />
relevanta lagar och förordningar och ger en fullgod bakgrundsbild till varför och hur man genomfört<br />
12
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
mätningarna. Dessa jämförs sedan mot de lagstadgade miljökvalitétsnormerna för utomhusluft i<br />
termer av timmedelvärden, dygnsmedelvärden samt årsmedelvärden med avseende på<br />
gränsöverskridningsfrekvens. Man skriver exempelvis om NO2:<br />
Samt angående PM10:<br />
”Till skydd för människors hälsa får kvävedioxid efter den 31 december 2005 inte<br />
förekomma i utomhusluft med mer än:<br />
1. i genomsnitt 90 mikrogram per kubikmeter (µg/m 3 ) luft under en timme.<br />
2. i genomsnitt 60 mikrogram per kubikmeter (µg/m 3) luft under ett dygn.<br />
3. i genomsnitt 40 mikrogram per kubikmeter (µg/m 3 ) luft under ett<br />
kalenderår.<br />
Timmedelvärdet får överskridas 175 gånger per år (98-percentil) förutsatt att<br />
föroreningsnivån aldrig överstiger 200 mikrogram per kubikmeter luft under en timme mer<br />
än 18 gånger per kalenderår (99,8-percentil).<br />
Dygnsmedelvärdet får överskridas 7 gånger per kalenderår (98-percentil).” 13<br />
”Till skydd för människors hälsa får partiklar efter den 31 december 2004 inte förekomma i<br />
utomhusluft mer än:<br />
1. i genomsnitt 50 mikrogram per kubikmeter luft under ett dygn.<br />
2. i genomsnitt 40 mikrogram per kubikmeter luft under ett kalenderår.<br />
Det värde som anges i första stycket 1 får överskridas 35 gånger per kalenderår (90-<br />
precentil).” 14<br />
Därmed är det alltså gränsöverskridningsfrekvensen som är det centrala i undersökningen, alltså hur<br />
många timmar under året som varit direkt farliga för människors hälsa samt i förlängningen av detta<br />
hur många dygn som varit det och därefter klargöra om kalenderåret i sin helhet utgjort ett hot mot<br />
människors hälsa p.g.a. förorenad utomhusluft. Med avseende på det databortfall som uppstått under<br />
året står följande att läsa i exempelvis 2008 års rapport:<br />
13 Samhällsbyggnadskontoret Miljö – och hälsoskydd, (2008-02). <strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong> – Sammanställning av mätningar vid Västra<br />
Esplanaden 2008-01-01 – 2008-12-31. <strong>Umeå</strong> Kommun<br />
14 Ibid.<br />
13
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
”Visst databortfall finns under korta perioder vid exempelvis service och underhåll av<br />
utrustningen. Datafångsten för NO2 mätningarna har varit 96-97 % vilket är mycket bra och<br />
uppfyller de krav på 90 % datafångst som Naturvårdsverket ställer.”<br />
Därefter det väsentliga:<br />
”Den stora datafångsten medför att redovisade uppgifter rörande luftföroreningssituationen<br />
bedöms återspegla den faktiska situationen med avseende på luftföroreningar på Västra<br />
Esplanaden på ett tillfredsställande sätt.”<br />
Med detta antagande nöjer man sig och går således inte vidare med någon bortfallsanalys. Detta<br />
resonemang anser jag vara diskutabelt på grund av att det man har till uppgift att göra – mäta<br />
gränsöverskridningsfrekvensen – inte stämmer direkt överens med det man anser att de redovisade<br />
uppgifterna återspeglar: nämligen ”den faktiska situationen med avseende på luftföroreningar på Västra<br />
Esplanaden”. Distinktionen mellan dessa två ändamål och de olika arbetssätt och analys dem påfordrar<br />
återkommer jag till.<br />
2.5. Datafångst 15<br />
Med utgångspunkt i Rubin’s antaganden om saknade observationer, MCAR och MAR, så har jag valt att<br />
titta på ett antal numeriska beskrivningar av datat vid givna tim-, dygns- och månadsvärden för att<br />
undersöka huruvida bortfallsfrekvensen kan vara relaterad till specifika tidspunkter som i sin tur är<br />
relaterade till värden på NO2 respektive PM10.<br />
2.5.1. NO2<br />
Till att börja med så kan det konstateras att datafångsten för NO2 har varit exceptionellt bra<br />
under dessa tre år, sammanlagt hela 97,6 %. Tittar vi sedan på de tre olika datamatriserna så<br />
ser vi att:<br />
i. Skillnaderna i datafångst är väldigt små med avseende på dygnets tjugofyra<br />
timmar, där den 12:e timmen har flest bortfall: 1064 registrerade mätningar mot<br />
exempelvis 1072 registrerade mätningar för den 22:a timmen.<br />
15 Läsaren hänvisas till Bilaga 1a vad gäller samanställningar och grafer för NO2,<br />
samt Bilaga 1b vad gäller sammanställningar och grafer för PM10.<br />
14
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
ii. Skillnaderna i datafångst är väldigt små även med avseende på veckans sju dygn<br />
där torsdagen har flest bortfall: 3620 registrerade mätningar mot exempelvis 3695<br />
registrerade mätningar för söndagen.<br />
iii. Skillnaderna är något större med avseende på årets tolv månader där augusti har<br />
flest bortfall: 1916 registrerade mätningar mot exempelvis 2232 registrerade<br />
mätningar för januari och maj.<br />
Dessa resultat anser jag ger en fingervisning om att bortfallen tycks komma ”i klump” och bildar<br />
på så sätt ”glapp” i tidsserien där värden saknas, snarare än att de inträffar vid för<br />
undersökningen relevanta tidpunkter såsom under en viss tid på dygnet eller under en viss del<br />
av året. Detta då skillnaden i bortfall för olika timmar på dygnet förefaller vara lägst, följt av<br />
skillnaden för olika dagar i veckan och störst är skillnaden för årets olika månader. Om det hade<br />
varit så att bortfallen uppstått ett i taget så borde inte en sådan trend kunna uppfattas.<br />
Tittar vi sedan på medelvärden vid olika faktornivåer ges följande:<br />
Av dessa datamatriser så framgår det tydligt att dygnsmedelvärdena för NO2, helt enligt<br />
förväntningarna, är lägre för lördagar och söndagar än för de fem arbetsdagarna. Det framgår<br />
också att timmedelvärdena är något högre för de timmar på dygnet som man förväntar sig att<br />
den mänskliga aktiviteten skall vara relativt hög dvs. på morgonen ungefär mellan 8-10 och på<br />
kvällen ungefär mellan 16-18. Vad gäller skillnader mellan årets tolv månader så kan man se att<br />
medelvärdena för semestermånaderna, juni, juli och augusti, är lägre än medelvärdena för årets<br />
övriga nio månader vilket är i enighet med de trendindikationer som mätningarna påvisat<br />
hittills.<br />
Men inget av detta indikerar en relation mellan saknade observationer och värdet på NO2.<br />
Som ni minns så var bortfallet som störst för augusti månad, men den månaden utmärker sig<br />
varken med avseende på dess centraltendens eller på dess extremvärden och spridning. Av<br />
veckans sju dagar så var bortfallet störst för torsdagen, som också är det dygn som i och för sig<br />
har högst medelvärde men som knappast är tillräckligt högt i förhållande till övriga<br />
dygnsmedelvärden för att meritera vidare analys och som heller inte har vare sig störst<br />
extremvärden eller spridning. Ser vi slutligen till dygnets tjugofyra timmar så var bortfallet<br />
störst under den 12:e (och 13:e) timmen, timmar som inte heller utmärker sig på något relevant<br />
sätt.<br />
15
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
2.5.2. PM10<br />
För PM10 ser datafångsten ut som följande:<br />
Även för PM10 har datafångsten varit bra: sammanlagt 94,5 % under åren 2006, 2007 och<br />
2008. Tittar vi sedan på datamatriserna så ser vi att:<br />
i. Skillnaderna i datafångst är väldigt små med avseende på dygnets tjugofyra<br />
timmar även för PM10, där den 10:e timmen har flest bortfall: 1029<br />
registrerade mätningar mot exempelvis 1043 registrerade mätningar för den<br />
17:e timmen.<br />
ii. Skillnaderna i datafångst också är väldigt små med avseende på veckans sju<br />
dagar, där måndagen har flest bortfall: 3501 registrerade mätningar mot<br />
exempelvis 3602 registrerade mätningar för fredagen.<br />
iii. Skillnaderna i datafångst, precis som för NO2, är lite större med avseende på<br />
årets tolv månader, där februari har flest bortfall med 1905 registrerade<br />
mätningar mot exempelvis 2228 registrerade mätningar i juli.<br />
Tolkningen av dessa bortfallsfrekvenser blir analog med den föregående, nämligen att bortfallen<br />
”kommer i klump” och på så sätt drabbar de för studien relevanta tidpunkterna tämligen lika.<br />
Trots liknande bortfallsfrekvens som NO2 så kan fortfarande en jämförelse en granskning<br />
av medelvärden och spridning vid olika faktornivåer vara intresse: (se: Bilaga 2 b.)<br />
Det framgår att timmedelvärdena för PM10 är högst de timmar på dygnet som man kan<br />
förvänta sig att det är många fordon på vägarna. Ser vi sedan till dygnsmedelvärden så finner vi<br />
återigen att lördag och söndag har lägre medelvärden än övriga veckodagar, vilket säkerligen<br />
beror på en större mängd trafik under arbetsdagarna. Jämför vi dessa iakttagelser med<br />
bortfallsfrekvenserna för PM10 så meriterar det knappast någon vidare analys av relationen<br />
mellan värden på PM10 och sannolikheten för saknade observationer.<br />
16
3. Metoder<br />
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
3.1. Listvis uteslutning<br />
Den absolut vanligaste (men därmed inte sagt bästa!) metoden för att handskas med saknade<br />
observationer är listvis uteslutningsmetoden. Den innebär att samtliga observationer i ett dataset som<br />
saknar data på någon variabel utesluts ur undersökningen, varpå undersökaren i bästa fall antar att<br />
det som återstår av stickprovet är ett obundet slumpmässigt urval av det ursprungliga stickprovet som<br />
åtminstone implicerar att han förstår innebörden av vad han gör, eller i värsta fall antar att de<br />
uteslutna observationerna ”ända inte spelar någon roll” utan närmare analys, vilket tyvärr är desto<br />
vanligare.<br />
Nåväl, vad medför då denna metod? Allison (2001) pekar på två uppenbara fördelar 16 :<br />
• Den kan användas vid all statistisk analys, oavsett om man arbetar med en strukturell<br />
ekvationsmodell i AMOS eller en korstabell i Excel.<br />
• Inga specifika beräkningsmetoder fordras, man kan helt enkelt gå vidare som om<br />
ingenting hänt.<br />
Förutom dess parsimoniska egenskaper så innehar listvis uteslutningsmetoden också en hel del goda<br />
egenskaper ur statistisk synpunkt under förutsättningen att data är MCAR:<br />
o Om parameterskattningarna i det ursprungliga stickprovet var unbiased så kommer<br />
dem även att vara det för reducerade stickprovet.<br />
o Standardavvikelser och teststatistikor som erhålls av det reducerade stickprovet<br />
kommer fortfarande att vara lika korrekta. Här bör man dock notera att det generellt<br />
gäller att ju fler observationer man har i ett givet dataset desto lägre tenderar<br />
standardavvikelserna skattas, detta då man helt enkelt har mer information att tillgå<br />
och därför kan göra säkrare skattningar.<br />
Till nackdelarna hör bland annat det som nämns ovan, nämligen att man ”kastar bort” information som<br />
annars kan vara användbar i undersökningen. Detta är i synnerhet ett allvarligt problem om man<br />
16 Allison, P.D. (2001). Missing Data. Sage University Papers Series on Quantative Applications in the Social Sciences, 07-<br />
136. Thousand Oaks, CA: Sage. p 6.<br />
17
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
jobbat hårt och betalat mycket för att erhålla sitt datamaterial, då kan det vara svårt att försvara att<br />
man kastar en påtaglig del av det arbetet i papperskorgen.<br />
Vidare så innebär överträdelser av MCAR antgandet i sitt dataset att listvis<br />
uteslutningsmetoden kan orsaka icke-väntevärdesriktiga estimatorer. Om det finns en<br />
beroendestruktur bland förklaringsvariabler och beroendevariabler i modellen som innebär att<br />
sannolikheten för att observera ett värde på en beroendevariabel är beroende av värdet på en<br />
förklaringsvariabel så kommer listvis uteslutningsmetoden att orsaka icke-väntevärdesriktiga<br />
estimatorer. Detsamma gäller exempelvis om en sådan beroendestruktur föreligger i en<br />
regressionsmodell som innebär att regressionskoefficienterna i modellen inte kan antas vara lika för<br />
alla individer i stickprovet.<br />
Med detta sagt så förblir ändå listvis uteslutningsmetoden den metod som jag hädanefter<br />
kommer att jämföra övriga metoder med av den enkla anledningen att denna metod är den minst<br />
komplicerade, mest lättförstådda, och mest använda av alla metoder samtidigt som den under vissa<br />
förutsättningar har väldigt goda statistiska egenskaper. Därmed ger den så att säga högst<br />
marginalavkastning, dvs man får mycket för väldigt lite i termer av arbetsbörda och statistisk<br />
ackuratess. Vad man dock måste ha i tanken hela tiden är att det inte bara kan vara en viss metods<br />
generella egenskaper som avgör om den är bäst, utan dess egenskaper utifrån det specifika problem<br />
som varje undersökning utgör där mätning av gränsöverskridningsfrekvens definitivt är ett sådant<br />
specifikt problem.<br />
3.2. Medelvärdessubstitution<br />
En annan ganska vanlig metod för att ta hand om saknade observationer har varit<br />
medelvärdessubstitution. Det går helt enkelt till så att man beräknar medelvärdet på den variabel som<br />
det saknas observationer på utifrån det data man har tillgängligt och imputerar dessa skattningar i sin<br />
datamatris och genomför sedan inferens som om man hade ett fullständigt stickprov. Denna metod<br />
delar fördelen med listvis uteslutning att vara väldigt enkel att både genomföra och intuitivt förstå och<br />
tolka. Andra egenskaper hos medelvärdessubstitution är:<br />
o Metoden är alltid konservativ 17 i den meningen att de imputerade värdena inte kommer<br />
att medföra speciellt stora förändringar av medelvärdet för fördelningen i stort vilket<br />
kan vara bra om man är väldigt osäker på området.<br />
17 Tabachnik, B.G, Fidell, L.S. (2007) Using Multivariate Statistics 5:th ed. Pearson Education, Inc. p.67.<br />
18
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
o Variansen hos den imputerade variabeln kommer antagligen att underskattas - ganska<br />
kraftigt - då medelvärdena rimligtvis kommer att ligga närmre fördelningens faktiska<br />
centraltendens än de värden som dem ersätter. Detta föranleder givetvis att<br />
teststatistikorna inte längre är tillförlitliga, och man har problem med inferensen.<br />
Givetvis kan man genomföra denna metod något mindre primitivt genom att exempelvis beräkna<br />
medelvärden vid givna faktornivåer under förutsättningen att sådana finns att tillgå i sin modell, men<br />
inget av detta kommer att kunna lösa de ovanstående problemen med medelvärdessubstitution, utan<br />
på sin höjd minimera dem. Allison (2001) påpekar också problemet med den icke-väntevärdesriktiga<br />
variansskattningen med denna metod och drar slutsatsen att den ”generellt bör undvikas.” 18<br />
3.3. Regression med konvergerande prediktionsvärden<br />
Genom att ansätta en regressionsmodell med den variabel som saknar observationer som<br />
beroendevariabel, Y, och de övriga variablerna i datasetet som förklaringsvariabler, Xi, så kan de<br />
saknade observationerna på beroendevariabeln skattas. På så sätt tar man tillvara på den information<br />
om beroendevariabeln som eventuellt finns hos de övriga variablerna i datasetet.<br />
Tabachnik och Fidell (2007) 19 påpekar att det är lämpligast att fortsätta med metoden tills<br />
man fått konvergens i prediktionsvärdena för de saknade observationerna. Det innebär att de<br />
predikterade värdena från den första beräkningsomgången förs in i datasetet varpå statistikern<br />
predikterar nya värden för de saknade observationerna. Detta pågår tills konvergens uppnåtts, dvs tills<br />
skillnaderna mellan de värden som införs för prediktering och de resulterande prediktionsvärdena är<br />
tillräckligt små för ändamålet.<br />
Vilka konsekvenser medför då denna metod?<br />
o Den intuitivt mest uppenbara effekten är att man kommer att få predikterade<br />
värden som kommer att passa in för bra i sitt dataset i förhållande till de värden<br />
som dem ersätter med avseende på de övriga variablerna i datasetet eftersom dessa<br />
utgjort den informationsbas som renderat i de framtagna skattningarna. Detta<br />
kommer naturligtvis att påverka modellen som helhet och sambanden i modellen<br />
kommer att överskattas.<br />
18 Allison, P.D. (2001). Missing Data. Sage University Papers Series on Quantative Applications in the Social Sciences, 07-<br />
136. Thousand Oaks, CA: Sage. p 11.<br />
19 Tabachnik, B.G, Fidell, L.S. (2007) Using Multivariate Statistics 5:th ed. Pearson Education, Inc. p.67.<br />
19
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
o En annan högst trolig effekt är att de imputerade värdena, precis som vid<br />
medelvärdessubstitution, kommer att vara ”för snälla” dvs avvika för lite än de<br />
borde från dess centraltendens eftersom de skattats som en perfekt linjärfunktion<br />
av förklaringsvariablerna. Detta medför en underskattning av variansen och därmed<br />
en överskattning av teststatistikorna.<br />
o Slutligen kräver denna metod att det finns variabler i datasetet som innehåller<br />
tillräckligt bra information om den variabel som det saknas information på för att<br />
man skall få tillförlitliga resultat.<br />
3.4. Box-Jenkin’s modell med prediktion av saknade observationer<br />
I den numera klassiska boken från 1970 av George Edward Pelham Box och Gwilym Meirion Jenkins,<br />
Time series analysis: Forecasting and control så föds modellbyggnadsmetodologin ARIMA<br />
(Autoregressive Integrated Moving Average) med tillhörande förhållningssätt till tidsserieanalys. För en<br />
utförligare förklaring av själva modellmetodologin så rekommenderar jag kap. 3 - 5 i Chatfield (2003),<br />
dock antas läsaren hädanefter åtminstone vara tillräckligt insatt i ämnet för kommande resonemang i<br />
uppsatsen.<br />
I en ansatt ARIMA modell så modellerar man värdet man ser just nu med hjälp av den<br />
information som finns i variabelns förflutna värden, exakt hur denna modell ser ut kommer givetvis att<br />
vara fullständigt bundet av den beroendestruktur som datat uppvisar. Vad innebär då detta för<br />
problemet med saknade observationer?<br />
Då beroendestrukturen i datat är modellerat med hjälp av en Box-Jenkin’s modell så är<br />
resonemanget analogt när det gäller att modellera framtida värden, man använder alltså all den<br />
information som finns i tidigare observationer av tidsserien för att prediktera värdet vid framtida<br />
tidpunkter. Ett möjligt tillvägagångssätt för att skatta saknade observationer blir då att använda sig av<br />
all information som finns i tidsserien fram till den första saknade observationen, och därefter<br />
prediktera S tidsenheter frammåt och således erhålla en skattning för dem saknade observationerna<br />
enligt följande uttryck under exempelvis en ansatt AR(1):<br />
X T + S = αX T + S −1<br />
+ εT<br />
+ S<br />
En sådanhär metod stöter dock på allvarliga problem när bortfallet bildar glapp i tidsserien, som det<br />
gör i detta fall, eftersom man då måste använda sig av predikterade värden som om de vore<br />
20
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
observerade. Detta medför givetvis allvarliga problem, åtminstone på det teoretiska planet, men jag<br />
återkommer till detta senare.<br />
3.5. EM-algoritm<br />
EM-algoritmen är en generell metod för att ta fram maximum likelihood (ML) estimat när delar av<br />
datat saknas, men kommer i denna uppsats att behandlas under antagande om multivariat<br />
normalfördelade variabler i modellen vilket get ett specialfall av EM-algoritmen. Även om detta<br />
antagande är ett ganska starkt antagande så har det visat sig att om någon variabel (som saknar<br />
observationer, annars kan den vara fördelad hur som helst i princip) i datasetet inte är normalfördelad<br />
så har ändå maximum-likelihood skattningar under detta antagande ofta väldigt goda egenskaper,<br />
speciellt om datat kan antas vara MCAR. 20<br />
Algoritmen består i detta specialfall av två olika steg:<br />
1. Expectation<br />
Man börjar med att anta startvärden på de parametrar man skall estimera, dvs<br />
medelvärdet och kovariansmatrisen (som består av korrelationer och<br />
standardavvikelser). Dessa startvärden kan exempelvis fås genom att tillämpa listvis<br />
uteslutningsmetoden och därefter genomföra konventionella ML-skattningar på det<br />
reducerade stickprovet. Sedan beräknas regressionskoefficienter baserade på dessa<br />
startvärden för samtliga variabler i datasetet för att således erhålla skattningar av de<br />
saknade värdena och därmed, som Allison (2003) påpekar, har detta steg i algoritmen<br />
under antagandet om multivariat normalfördelade variabler i allt väsentligt reducerats<br />
till en regressionsimputationsprocess. 21 Lägg dock märke till att man här tar till vara på<br />
all information som finns i alla variabler i datasetet utan att behöva dela in dem i<br />
förklarings- respektive responsvariabler.<br />
20 Allison, P.D. (2001). Missing Data. Sage University Papers Series on Quantative Applications in the Social Sciences, 07-<br />
136. Thousand Oaks, CA: Sage. p 18.<br />
21 Ibid, p 20.<br />
21
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
2. Maximization<br />
När alla saknade värden har skattats och imputerats i datasetet i expectation-steget så<br />
består maximization-steget av att beräkna nya ML-värden för medelvärdet och<br />
kovariansmatrisen. Här är det lämpligt att vara på sin vakt 22 då konventionella<br />
imputationsprocesser i mjukvara ofta underestimerar variansen i modellen genom att<br />
inte korrigera de imputerade värdena med de residualvarianser- och kovarianser som<br />
erhålls av regressionsekvationen i det föregående expectation-steget.<br />
När vi beräknat nya medelvärden och kovariansmatriser så återgår man till expectation-steget och<br />
skattar nya värden för de saknade observationerna med hjälp av de nya parametervärdena, för att<br />
därefter återigen beräkna parametrarna på nytt. Dessa två steg upprepas till dess att skattningarna<br />
konvergerat.<br />
3.6. Multipel Imputation (MI)<br />
Som titeln antyder så innebär denna imputationsmetod att man återskapar flera uppsättningar dataset<br />
med skattade värden för de saknade observationern. Men för att förstå hur MI fungerar, och<br />
framförallt varför det fungerar, så ska jag snabbt nämna de några av de svårigheter som statistikern<br />
står inför när data skall imputeras:<br />
o För det första så vill man att metoden skall fungera för alla typer av data som finns i<br />
datasetet, och att de estimat som metoden genererar uppvisar goda egenskaper.<br />
o Vidare så vill man att den beräkningstekniska delen av metoden skall vara så enkel<br />
som möjligt för att underlätta tolkningen av skattningarna som tas fram.<br />
o Framförallt så vill man att den imputationsmetod man använder sig av återskapar<br />
de faktiska observationerna som saknas på ett så korrekt sätt som möjligt med<br />
avseende på variabelns sanna variabilitet och därefter genererar<br />
parameterskattningar som tar i beaktande att de imputerade värdena är baserade<br />
sample estimat av parametrar och inte sanna parametrar. Därmed identifieras<br />
svårigheten att ta i beaktande följande faktum:<br />
22 Allison, P.D. (2001). Missing Data. Sage University Papers Series on Quantative Applications in the Social Sciences, 07-<br />
136. Thousand Oaks, CA: Sage. p 20.<br />
22
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
att de imputerade värdena inte är riktiga värden och därför inte bör<br />
betraktas som sådana, samt att de erhållna parameterskattningarna<br />
som imputationsvärdena baseras på är sampling estimat och inte<br />
estimat av de sanna parametrarna.<br />
En potentiellt pinsam situation kan uppstå när MI används, nämligen att olika undersökningar får fram<br />
olika värden trots att man använder exakt samma dataunderlag. Det kan låta ovetenskapligt, men det<br />
är faktiskt så att det är just detta faktum som är en av de mest briljanta delarna i denna metod.<br />
Anledningen till att MI alltid genererar olika värden varje gång är att slumpmässig variation medvetet<br />
införs i imputationsprocessen för att på så sätt gå ifrån en deterministisk imputationsmetod till förmån<br />
för en slumpmässig imputationsmetod. Detta ifrångående tar i beaktande att de imputerade värdena<br />
inte är sanna värden, ett faktum som för deterministiska imputationsmetoder ofrånkomligen<br />
resulterar underskattningar av variansen/kovariansen hos variablerna i fråga. Som jag nämnde<br />
tidigare så kan detta problem hanteras i en EM-algoritm genom att residualvarianserna från<br />
regressionsekvationen används för att korrigera dem konventionella beräkningsformlerna, varpå<br />
Allison (2003) anser att ett fullgott alternativ är att göra en slumpmässig dragning från<br />
residualfördelningen från varje variabel som skall imputeras och sedan addera dessa slumpmässiga<br />
dragningar till de imputerade värdena. Anta exempelvis ett dataset med två variabler, X och Y, där<br />
observationer på X saknas. Då beräknas det slumpmässiga imputationsvärdet enligt: 23<br />
xi xi<br />
σ x yψ<br />
i<br />
2<br />
~ ^<br />
= + ,<br />
2<br />
Där σ är variabelns standardavvikelse, ψ i är slumpmässiga dragningar från residualfördelningen<br />
för X, xi ^<br />
är det predikterade av X från regressionen av X på Y, x i<br />
~<br />
är det modifierade imputerade<br />
värdet som går in i datasetet. Detta hanteringssätt förekommer i MI och möjliggör användandet av<br />
konvetionella formler för att beräkna varianser och kovarianser. Därmed kan slumpmässig imputation<br />
eliminera den bias som deterministisk imputation orsakar, men problem kvarstår. Då imputerade<br />
värden används som om dem vore observerade värden, oavsett om dem är slumpmässiga eller<br />
deterministiska, så uppkommer problemet med generellt ”för bra” imputationsvärden 24 , förmodligen<br />
23 Allison, P.D. (2001). Missing Data. Sage University Papers Series on Quantative Applications in the Social Sciences, 07-<br />
136. Thousand Oaks, CA: Sage. p 28.<br />
24 Allison, P.D. (2001). Missing Data. Sage University Papers Series on Quantative Applications in the Social Sciences, 07-<br />
136. Thousand Oaks, CA: Sage. p 29.<br />
23
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
som ett resultat av att dem skattats som en linjärkombination av de andra variablerna i datasetet.<br />
Detta åtgärdas i MI genom att man återskapar flera uppsättningar dataset med imputerade värden som<br />
vart och ett kommer att ha unika skattningar tack vare att den deterministiska imputationsmetoden<br />
övergetts till förmån för den slumpmässiga genom att göra dragningar ur variabelns<br />
residualfördelning. Dessa uppsättningar poolas sedan ihop för att vikta upp standardavvikelsen hos<br />
variabeln i fråga och man erhåller en betydligt mindre biased skattning enligt: 25<br />
Där<br />
~ 1 m ^<br />
X = ∑ X i<br />
m i=<br />
1<br />
~<br />
X är den slutgiltiga skattningen för imputationen, samt:<br />
~<br />
⎛ 1 ⎞<br />
T = U + ⎜1+<br />
⎟B ⎝ m ⎠<br />
Där T är den totala estimerade variansen medan B och<br />
~<br />
U utgör mellangrupps- respektive genomsnitts-<br />
inomgruppsvariansen hos imputationsgrupperna beräknade enligt:<br />
1<br />
B =<br />
m −1<br />
~ 1 m<br />
= ∑<br />
m i=<br />
1<br />
U<br />
m<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
U<br />
i<br />
⎛<br />
⎜ X<br />
⎝<br />
^<br />
i<br />
~ ⎞⎛<br />
− X ⎟⎜<br />
X<br />
⎠⎝<br />
^<br />
i<br />
~ '<br />
⎞<br />
− X ⎟<br />
⎠<br />
Notationer:<br />
m : antal återskapade dataset<br />
m.h.a. multipel imputation<br />
X = (X1, … , Xk) ’ : parametervektor<br />
med k antal element att estimera<br />
^ ^ ^<br />
X i = ( X 1 , … , X k i)’ : estimerade<br />
parametervektorer m.h.a.<br />
det i:te återskapade datasetet<br />
Ui : estimerad kovariansmatris av<br />
25 SPSS Statistics 17.0 (2008-12-01) SPSS Multiple Imputation Pooling Algorithms: Combining Results After Multiple<br />
Imputation vidare refererat till:<br />
Li, K.H. Raghunathan, T.E. Rubin, D.B. (1991) Large-Sample Significance Levels from Multiply Imputed Data Using Moment-<br />
Based Statistics and an F Reference Distribution. Journal of the American Statistical Association. 86, 1065-1073. samt:<br />
Schafer, J.L. (1997) Analysis of Incomplete Multivariate Data. London: Chapman and Hall.<br />
24<br />
^<br />
X i
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
Problem kvarstår dock fortfarande, för när xi ^<br />
skall skattas så betraktas de parameterskattningar som<br />
används i regressionsekvationen som om de vore sanna parametrar, men eftersom dem är sample<br />
estimat av parametrar så är det inte lämpligt att använda sig av samma värden på dessa parametrar för<br />
varje imputationsskattning, dem bör variera. Ett sätt att tillåta en slumpmässig variation i<br />
parameterskattningarna är att göra slumpmässiga dragningar ur vad som kallas the Bayesian posterior<br />
distribution of parameters. 26 Tyvärr är detta lättare sagt än gjort, och fordrar specialiserad mjukvara<br />
som exempelvis beräknar Markov chain Monte Carlo (MCMC)-algoritmer, något som lyckligtvis finns i<br />
SPSS 17.0 som val av imputationsmetod under ”Fully Conditional Specification” (FCS).<br />
Dessutom konstaterar Allison (2003) 27 att så länge stickprovet är stort och proportionen<br />
saknade observationer är litet så kommer MI utan detta extra steg vanligtvis ge resultat som är väldigt<br />
nära de resultat man annars fått, speciellt om datat kan antas vara MCAR.<br />
Vidare kan nämnas att medan jag anser att det bästa sättet att genomföra multipel<br />
imputation på för just det problem som denna uppsats avhandlar är det sätt som presenterats ovan, så<br />
finns det andra tillvägagångssätt. Ett klassiskt exempel är den icke-parametriska så kallade ”Hot-Deck”<br />
metoden, frekvent använd av U.S. Census Bureau där man bildar korstabeller av variabler som är<br />
relaterade till variabeln med saknade observationer och helt enkelt väljer ut ett ”donationsvärde” i<br />
denna korstabell för varje saknat värde. För att randomisera denna urvalsprocess bland de möjliga<br />
donationsvärdena, på ett sätt som tar all naturlig variation i variabeln i beaktande, så myntade Donald<br />
P. Rubin en metod som han uppkallade the approximate Bayesian Bootstrap. 28 Denna metod kom sedan<br />
att kompletteras av R. J. A. Little med en partiell-parametrisk metod som kallas Predictive Mean<br />
Matching som för övrigt finns att tillgå i SPSS 17.0. För en utförligare förklaring om hur ”Hot-Deck”<br />
metoden används så hänvisas läsaren till relevanta kapitel Allison (2003), men den är alltså inte<br />
aktuell denna gång.<br />
26 Iversen, Gudmund R. (1976). Bayesian Statistical Inference. Sage University Papers Series on Quantative Applications in<br />
the Social Sciences, 07-001. Beverly Hills and London: Sage Pubns.<br />
27 Allison, P.D. (2001). Missing Data. Sage University Papers Series on Quantative Applications in the Social Sciences, 07-<br />
136. Thousand Oaks, CA: Sage. p 31-32.<br />
28 Ibid, p 58.<br />
25
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
3.7. Val av metod<br />
Av dessa olika metoder, vilken lämpar sig bäst?<br />
För att svara på den frågan så måste vi här definiera kärnan i vad som skall åstadkommas<br />
med den metod som slutligen väljs. Jag nämnde i avsnitt 2.3 Tidigare redovisning av data att jag anser<br />
att det är en väsentlig skillnad i de två syftena:<br />
1. Mäta gränsöverskridningsfrekvensen<br />
2. Spegla den faktiska situationen med avseende på luftföroreningar<br />
Jag skulle nu vilja återkoppla till detta. För att på ett korrekt sätt mäta gränsöverskridningsfrekvensen<br />
så menar jag på att det inte räcker att de saknade observationerna styrs av en slumpmässig<br />
bortfallsmekanism för att avfärda vidare bortfallsanalys, eftersom vad man har för avsikt att mäta inte<br />
är den stokastiska processens centraltendens utan den frekvens med vilken den avviker från denna<br />
med avseende på givna distanser, gränsvärden.<br />
Exempel:<br />
Låt oss säga att datafångsten ett visst år uppgår till 95% och att bortfallet kan antas vara<br />
MCAR. Detta ger att av årets 8760 timmar så saknar man data på totalt 438 timmar. Antag<br />
vidare för enkelhetens skull att sannolikheten för att ett timmedelvärde skall överskrida ett<br />
visst gränsvärde är konstant över alla timmar på året, och att denna sannolikhet är 0,015.<br />
Detta ger att det i genomsnitt sker ett gränsöverskridande var 66:e timme, varvid det<br />
förväntade antalet gränsöverskridningar på ett år blir 8760 * 0,015 = 131,4. Men eftersom man<br />
endast lyckats fånga upp 8322 timmar så blir det skattade antalet gränsöverskridningar<br />
endast 8322 * 0,015 = 124,83. För att få fram det korrekta antalet gränsöverskridningar under<br />
ett år så bör man addera produkten av antalet saknade timmedelvärden och sannolikheten för<br />
att en timme skall överskrida gränsvärdet till det förväntade antalet gränsöverskridningar som<br />
det uppfångade datat genererat enligt:<br />
(8322 * 0,015) + (438*0,015) = 124,83 + 6,57 = 131,4<br />
Ty om inte detta görs, om bortfallsanalys negligeras, så underskattas<br />
gränsöverskridningsfrekvensen ofrånkomligt.<br />
26
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
Exemplet ovan är givetvis en förenkling av verkligheten, i själva verket är inte sannolikheten för att ett<br />
timmedelvärde skall överskrida gränsvärdet varken känd eller konstant för alla timmar under året.<br />
Men det understryker den fundamentala skillnaden mellan att undersöka en centraltendens och en<br />
gränsöverskridningsfrekvens, där det första under antagandet om MCAR mycket väl kan stå sig bra,<br />
t.o.m. med ett mycket större bortfall än vad som finns i detta dataunderlag, men där det senare måste<br />
ta hänsyn till allt bortfall för att kunna åstadkomma väntevärdesriktiga skattningar.<br />
Mot bakgrund av detta resonemang så faller naturligtvis listvis uteslutningsmetoden bort,<br />
trots dess enkelhet och icke-förstörande egenskaper. Vidare är medelvärdssubstitution inte mycket<br />
bättre då denna definitivt kommer att resultera i att inga gränsöverskridande värden skattas med<br />
tanke på medelvärdesnivåerna i datat. En regressionsmodell med konvergerande prediktionsvärden är<br />
då ett bättre alternativ, men där framkommer det fundamentala problemet att de skattade värdena<br />
kommer att vara linjärkombinationer av de andra variablerna i modellen och därmed vara oförmögna<br />
att fånga upp variabelns reella variabilitet och därmed orsaka allehanda problem. Vad gäller Box-<br />
Jenkin’s modell med prediktion av saknade observationer så kan den metoden möjligtvis prestera bra<br />
om det är så att observationer saknas en och en, men som jag tidigare beskrivit så tycks<br />
observationerna i dessa dataset saknas ”i klump”, dvs de bildar glapp i tidsserien. Detta är naturligtvis<br />
väldigt problematiskt, då den bästa informationen om en tidsenhet antagligen ligger i dem omedelbart<br />
omkringliggande observationerna. Denna problematik är just vad Palma och Del Pino, samt Hoffman<br />
undersökte utifrån olika prespektiv, och slutsatsen där blev ju som bekant att man med tillförlitlighet<br />
sällan kan skatta mer än två tidsenheter framåt på detta sätt och att prediktionsfelet växer snabbt i<br />
takt med längden på observationsglappet. Man skulle då kunna tänka sig att sätta in de tidigare<br />
skattade värdena i prediktionsmodellen för att på så sätt kunna tillgodogöra sig den information som<br />
eventuellt finns i dessa, men problemet är då att vi inte vet något om kvalitén i den informationen då<br />
man i så fall använder deterministiskt imputerade värden i modellen som om de vore observerade<br />
värden. Det skulle vidare krävas omfattande modellkontrollering för att kunna dra korrekta slutsatser<br />
av en sådan inferens.<br />
Därmed har valet av metod reducerats till ett val mellan multipel imputation eller en EM-<br />
algoritm, ett val som jag för detta ändamål ser som uppenbart då multipel imputation tar i beaktande<br />
allt det som EM-algoritmen gör och utöver det, det inneboende faktum att imputerade värden aldrig<br />
någonsin fullt ut kan motsvara observerade värden och därför innehåller tekniker för att ta hand om<br />
även detta.<br />
27
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
4. Imputationsprocessen<br />
4.1. Analysen av en tidsserieprocess 29<br />
Sekvensen av observationer i en tidsserie utvecklas enligt sannolikhetslagar, därav finns det till<br />
processen {Xt} en simultan fördelningsanalys. Om denna är känd så blir det också möjligt att göra<br />
uttalanden om sannolika framtida värden på X, och en förutsättning för detta är att ansätta mycket<br />
restriktiva antaganden för den statistiska strukturen hos den stokastiska tidsserieprocessen. Det finns<br />
två olika sådana restriktioner som tillämpas, strikt stationaritet samt svag stationaritet varav det<br />
senare är vad som tillämpas och refereras till i denna uppsats och definieras enligt:<br />
E<br />
X<br />
1. ( ) = µ<br />
V<br />
X<br />
2. ( ) 2<br />
t<br />
t<br />
= σ<br />
3. ( t t k ) k X X γ =<br />
cov , +<br />
Där: t = indexering av tidslag, k = indexering av tidsförskjutning<br />
Här anger det första kriteriet att medelvärdet måste vara konstant för alla värden på t. Det andra<br />
kriteriet anger att variansen måste vara konstant för alla värden på t, och det tredje kriteriet till sist<br />
anger att autokovariansen ej får vara beroende av tidpunkterna själva utan endast av<br />
tidsförskjutningen mellan två tidspunkter. Vid strikt stationeritet stipuleras även kriterier för att<br />
moment av högre ordning för varje kombination av variablerna: Xt1, Xt2, Xt3, …. är oberoende av tiden,<br />
kriterier som för övrigt är explicita för exempelvis normalfördelade processer då dessa som bekant<br />
definieras fullt ut av sina två första moment, medelvärde och varians.<br />
Under detta antagande om stationaritet så kommer processen uppvisa följande<br />
fundamentala eganskaper för att kunna handskas med det faktum att man endast har en realisering av<br />
processen och därmed ej kan erhålla fler än ett stickprov vid varje tidpunkt:<br />
o Stickprovsmedelvärdet konvergerar mot processens sanna medelvärde.<br />
o Variansestimaten konvergerar mot processens sanna varians.<br />
29 Läsaren hänvisas till Bilaga 2a vad gäller samanställningar och grafer för NO2,<br />
samt Bilaga 2b vad gäller sammanställningar och grafer för PM10.<br />
28
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
o Procecessens längd i mättillfällen, T, som kan ses som T stycken upprepade<br />
stickprov på samma process.<br />
Därmed så kommer jag även att modellera den beroendestruktur som finns i datat med avseende på<br />
tidsförskjutningar förutom de faktorvariabler som finns inbyggda i datasetet:<br />
• Timma i: i = 1, 2, … 24.<br />
• Dag j: j = måndag, tisdag, onsdag, … söndag.<br />
• Månad o: o = januari, februari, mars, … december.<br />
4.1.1. Modellering av tidsserieberoendet<br />
En utförlig redogörelse av hur man analyserar och diagnostiserar en tidsserieprocess kan<br />
inhämtas hos Chatfield (2003), jag kommer dock hädanefter att utgå ifrån att läsaren är bekant<br />
med de kommande resonemangen.<br />
4.1.1.1. NO2<br />
För att avgöra huruvida det är möjligt att arbeta under antaganden om normalitet så började<br />
jag med att plotta mina observationer i en dotplott och en Q - Q plott. Av dotplotten framgår<br />
tydligt att variablen är kraftigt skev åt höger och detta återspeglas i Q –Q plotten som även<br />
indikerar att en logaritmisk transformation av variabeln skulle kunna resultera i en betydligt<br />
bättre anpassning till normalfördelningen, samtidigt som en sådan transformation är en<br />
åtgärd som ofta stabiliserar en eventuellt heteroskedastisk varians. Transformationen<br />
genomfördes och bägge plottarna vittnar nu om att en logaritmisk transformation av<br />
variabeln NO2 möjliggör ett fortsatt arbete under antagande om normalfördelning (och i<br />
förlängningen multivariat normalfördelning när vi kommer till imputationsprocessen).<br />
Nästa steg blev att undersöka tidsserieprocessen och antagandet om<br />
stationaritet. Detta påbörjades genom att först plotta datat i en tidsserieplot, något som<br />
visade sig vara lättare sagt än gjort när man har 26304 observationer i datasetet. När det<br />
kommer till den fina konsten ”eye-ball statistics” i tidsserieplottar så brukar jag alltid dela<br />
upp tidsserien i säg 8 lika långa segment, och om jag inte kan avgöra var i tidsserien som<br />
datat hör hemma genom att endast titta på den så brukar jag gå vidare i analysen. Nu anser<br />
jag dock att detta är genomförbart och lösningen blir då en differentiering, och eftersom vi<br />
29
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
har med timmedelvärden att göra så säsongsdifferentierade jag tidsserien med en<br />
periodicitet på 24 enligt:<br />
∆ X = X − X t<br />
24 t t −24<br />
Där Δ är en differentieringsoperator<br />
Differentieringen ser ut att ha avlägsnat dygnstrenden och tagit ner processen på en<br />
stationär nivå, därmed går jag vidare i analysen och genomför ett Dickey-Fuller test av<br />
enhetsrot 30 som under en förenklad modell, AR(1) genomförs enligt:<br />
X α X + ε<br />
= t<br />
t−1<br />
Om α = 1 så har vi en s.k. random walk eftersom varians och medelvärde då beror av t.<br />
∆X = X − X = α X + ε − X<br />
t t<br />
t<br />
* t−1<br />
t t −1<br />
X = α −1<br />
X + ε<br />
∆ −1<br />
t ( ) t t<br />
( α −1 ) = δ<br />
δ X + ε<br />
t−1<br />
t<br />
H0: δ = 0 enhetsrot, dvs ej stationär<br />
HA: δ < 0 stationär<br />
δ<br />
s⎜<br />
⎛δ<br />
⎟<br />
⎞<br />
⎝ ⎠<br />
= ^<br />
Teststatistika: t ~ Dickey-Fuller*<br />
*Statistikan är ej t-fördelad, utan fördelad efter en specifik fördelning, som brukar refereras som Dickey-Fuller Table.<br />
Med en parameter i modellen så är tkrit = -1,95.<br />
Med två parametrar i modellen så är tkrit = -2,89.<br />
Med tre parametrar i modellen så är tkrit = -3,45.<br />
^<br />
Osv…<br />
30 Chatfield, C. (2003). The analysis of Time Series, an introduction. 6 th ed. Chapman & Hall/CRC. p 263.<br />
t<br />
30
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
Testet gav tobs = -17,0 vilket innebär att H0 förkastas och därmed anser jag att det inte<br />
föreligger tillräckliga grunder för att behandla processen som icke-stationär.<br />
Nästa steg i analysen blev att undersöka processens autokorrelationsfunktion<br />
(ACF) samt partiella autokorrelationsfunktion (PACF) för att blottlägga den<br />
beroendestruktur som finns i tidsseriedatat. Det dök upp en tydlig spik i PACF medan<br />
förloppet i ACF var exponentiellt avtagande vilket är ett skolboksexempel på en AR-process.<br />
Därmed ansatte jag en AR(1) process utöver den säsongsdifferentiering som redan<br />
innefattats och plottade därefter ACF och PACF igen, varpå plottarna nu indikerande ett<br />
långsiktigt beroende i variabeln vid den 24:e laggen. Detta anser jag vara intuitivt<br />
lättförståeligt då dygnets timmar säkerligen samvarierar mellan dygnen, d.v.s. värdet på NO2<br />
klockan 12.00 är relaterat till värdet på NO2 klockan 12.00 föregående dygn. Därmed<br />
ansattes en SARIMA(1,0,0)(0,1,1) 24 modell och ACF samt PACF plottades igen för att<br />
undersöka huruvida den framtagna modellen förmått modellera bruset i tidsserien. Det<br />
anges även en teststatistika i SPSS utskriften, Ljung-Box statistikan som är ett test för vitt<br />
brus - som är detsamma som att säga att modellen är plausibel - men som jag<br />
erfarenhetsmässigt bedömmer vara mycket instabil och opålitlig och därför i bästa fall kan<br />
utgöra en minimal del av analysen.<br />
I och med ansättandet av SARIMA(1,0,0)(0,1,1) 24 modellen så ser ACF och<br />
PACF riktigt bra ut, och påvisar inte längre några uppenbara tendenser. Dessvärre har Ljung-<br />
Box statistikan ett ganska högt värde på 244,156 vilket är en indikation på att det finns<br />
tidsberoende kvar i datat som modellen inte förmått förklara. Tyvärr är det i realiteten så att<br />
vissa beroenden ibland kan vara mer eller mindre omöjliga att modellera, och desto oftare så<br />
kostar det mer i form av komplexitet i modellen än det smakar i form av förbättrade<br />
skattningar att försöka göra det. Men för att undersöka saken närmare så plottade jag upp<br />
residualerna från modellen och fann att de var väldigt normalfördelade, vilket är bra. Jag<br />
plottade sedan residualerna mot tiden för att möjligtvis kunna få en indikation på hur jag<br />
skulle kunna förbättra modellen eller åtminstone göra en bedömning av styrkan i det<br />
beroende som enligt Ljung-Box statistikan fortfarande föreligger. Tyvärr så fick jag inget<br />
stadigt att gå på av just detta tillvägagångssätt men den sammantagna informationen från<br />
residualplottar, ACF och PACF plottar, den höga förklaringsgraden i modellen (stationärt R 2<br />
= 0,861), samt de signifikanta parameterskattningarna anser jag alla talar för att gå vidare<br />
med den ansatta modellen.<br />
31
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
4.1.1.2. PM10<br />
Tillvägagångssättet i analysen för PM10 blir givetvis snarlik den för NO2. Även denna gång<br />
började jag med att plotta observationerna i en dotplott för att avgöra huruvida det är<br />
möjligt att arbeta under antaganden om normalitet. Av dotplotten framgår tydligt att även<br />
denna variabel är kraftigt skev åt höger och som också återspeglas i Q –Q plotten som<br />
återigen indikerar att en logaritmisk transformation av variabeln skulle kunna resultera i en<br />
betydligt bättre anpassning till normalfördelningen. Transformationen genomfördes och<br />
även om det inte ser lika bra ut som det gjorde för NO2 så anser jag ändå att avvikelserna<br />
från normalfördelningen är tillräckligt små för att den logaritmiska transformationen ska<br />
möjliggöra ett fortsatt arbete under antagande om normalfördelning.<br />
Nästa steg blev att undersöka tidsserieprocessen och antagandet om<br />
stationaritet: ”eye-ball statistics” tillämpades och även här ser en differentiering ut att vara<br />
nödvändig, och eftersom vi fortfarande har med timmedelvärden att göra så<br />
säsongsdifferentierade jag tidsserien med en periodicitet på 24. Denna differentiering såg ut<br />
att ha avlägsnat dygnstrenden hyfsat tillfredsställande och tagit ner processen på en<br />
stationär nivå, därmed gick jag vidare i analysen och genomförde ett Dickey-Fuller test.<br />
Detta gav ett tobs = -16,0 vilket innebär att H0 förkastas och därmed anser jag<br />
att det för PM10 inte heller föreligger tillräckliga grunder för att behandla processen som<br />
icke-stationär. Nästa steg i analysen blev att undersöka processens ACF samt PACF för att<br />
blottlägga beroendestrukturen. Även här dök det upp tydliga spikar i PACF medan ACF<br />
uppvisade ett exponentiellt avtagande mönster, och därför ansattes likaså en AR(1) och<br />
funktionerna plottades igen. Samma mönster som för NO2 dök upp i plottarna även denna<br />
gång med ett tydligt säsongsberoende varför jag som nästa åtgärd ansatte en<br />
SARIMA(1,0,0)(0,1,1) 24 och därefter plottade ACF och PACF ännu en gång. Ljung-Box<br />
statistikan var lägre denna gång: 69,372 men resonemanget blir även denna gång analogt<br />
som för föregående variabel och jag nöjer mig med den modell som jag kommit fram till.<br />
4.1.2. Övriga variabler av intresse<br />
De tidigare nämnda inneboende variablerna i datatsetet är som sagt på vilken timma av dygnets<br />
tjugofyra som värdet är uppmätt, vilken dag av veckans sju dagar som värdet tillhör, och vilken<br />
månad av årets tolv månader som värdet tillhör. Dessa olika faktorvariabler med tillhörande<br />
nivåer kommer givetvis inkluderas i imputationsmodellen då dessa säkerligen innehåller<br />
32
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
information om det värde som saknas och följdaktligen ska skattas. Det finns förstås andra<br />
variabler som också hade varit av intresse, såsom utomhustemperatur och vindstyrka etc, men<br />
som tyvärr inte uppmätts och som därför måste lämnas därhän.<br />
4.2. Tillämpning av multipel imputation 31<br />
Genom tillämpning av multipel imputation enligt ovanstående redogörelse så återskapades 5<br />
uppsättningar dataset som därefter poolades ihop för att bilda två kompletta dataset, för varje<br />
variabel. Utifrån utskrifterna ifrån processerna så framgår det att imputeringen av de saknade<br />
observationerna mycket riktigt har en påverkan vad gäller gränsöverskridningseffekten.<br />
För att kontrollera konvergensen i ittereringsprocessen med FCS metoden så plottade jag<br />
upp den mot 200 iterationer – väldigt många – och kan därefter konstatera att standardavvikelsen<br />
stabiliserade sig efter cirka 60 iterationer medan medelvärdet var stabilt under hela processen för<br />
bägge variablerna.<br />
4.3. Nya skattningar av gränsöverskridningsfrekvenser 32<br />
Det fullständiga datasetet med imputerade värden ska nu användas för att beräkna<br />
gränsöverskridningsfrekvensen för de respektive variablerna på nytt.<br />
Det kan även nämnas att jag som rutinåtgärd analyserat det rådata som dataseten bygger<br />
på och där tagit bort negativa- samt nollvärden och således behandlat dessa som mätfel. Därmed<br />
beräknas nedanstående dygns- och årsmedelvärden givetvis utifrån det antal observationer som<br />
inkluderats i repsektive kalkyl: dvs om det endast funnits 22 observerade timmar på ett dygn så har<br />
dessa summerats och summan dividerats med 22 och inte 24, detsamma gäller för årsmedelvärden.<br />
31 Läsaren hänvisas till Bilaga 3a vad gäller tillmäpningen för NO2,<br />
samt Bilaga 3b vad gäller tillämpningen för PM10.<br />
32 Läsaren hänvisas till Bilaga 4a vad gäller samanställningar för NO2,<br />
samt Bilaga 4b vad gäller sammanställningar för PM10.<br />
33
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
4.3.1. NO2<br />
Nedan följer beräkningar för gränsöverskridningsfrekvensen med avseende på olika mått:<br />
4.3.1.1. Timmedelvärde<br />
• För 2006 anges i kommunens rapport en gränsöverskridningsfrekvens på 286 (dvs<br />
286 timmar under 2006 översteg MKN på 90 µg/m 3). Jag kontrollerade detta genom<br />
att befalla SPSS att välja ut alla observationer som översteg90 µg/m 3 i datasetet och<br />
därefter koda om dem i en dikotom filtreringsvariabel som antog värdet 0 om<br />
observationen ej överskred 90 µg/m 3 eller antog värdet 1 om den överskred 90<br />
µg/m 3. Därefter summerade jag alla ettorna och enligt dessa beräkningar på det<br />
urpsrungliga datasetet så bör den siffran istället vara 296.<br />
Samma procedur gjordes på det fullständiga datasetet och den justerade<br />
överskridningsfrekvensen summerades till 298, alltså 2 fler gränsöverskridningar än i<br />
det ursprungliga datasetet av totalt 22 imputerade värden.<br />
• För 2007 anges i kommunens rapport en gränsöverskridningsfrekvens på 567. Jag<br />
kontrollerade detta på samma sätt som tidigare och fann att den siffran bör vara 566.<br />
Samma procedur gjordes på det fullständiga datasetet och den justerade<br />
överskridningsfrekvensen summerades till 571, alltså 5 fler gränsöverskridningar än i<br />
det ursprungliga datasetet eller 4 fler enligt kommunrapporten av totalt 392<br />
imputerade värden.<br />
• För 2008 anges i kommunens rapport en gränsöverskridningsfrekvens på 433. Jag<br />
kontrollerade detta på samma sätt som tidigare och fann att den siffran bör vara 433,<br />
alltså överensstämmande siffror.<br />
Samma procedur gjordes på det fullständiga datasetet och den justerade<br />
överskridningsfrekvensen summerades till 433, alltså genererades inget<br />
gränsöverskridande timmedelvärde för 2008 genom imputationsprocessen.<br />
34
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
Sammantaget bedömer jag att de multipelt imputerade värdenas effekt på<br />
gränsöverskridningsfrekvensen är realistiska, vilket talar för att metoden är lämplig samt<br />
utförts på ett korrekt sätt.<br />
4.3.1.2. Dygnsmedelvärde<br />
• För 2006 anges i kommunens rapport en gränsöverskridningsfrekvens på 53. När jag<br />
skulle kontrollera detta så upptäckte jag en diskrepans i rapporteringen av<br />
dygnsmedelvärden från 2006 i förhållande till 2007 och 2008 då man under 2006<br />
krävt att endast 18 av dygnets 24 timmar skall vara registrerade för att<br />
dygnsmedelvärdet skall godkännas. Jag ämnar därvidlag anta att<br />
samhällsbyggnadskontoret/miljö- och hälsoskydd i <strong>Umeå</strong> haft goda skäl till detta och<br />
genomför därför min kontrolle under jämförliga premisser. Denna gjordes genom att<br />
jag rekonstruerade datamatrisen så att dygnets 24 timmar blev variabler med<br />
uppmätta (alternativt saknade) värden för årets 365 dygn, varpå jag befallde SPSS att<br />
beräkna radmedelvärden för de 365 olika raderna och sedan spara dessa i en ny<br />
variabel som då innehöll alla årets dygnsmedelvärden. Jag kontrollerade sedan<br />
antalet timmar registrerade för varje dygn och fann att 2006-06-22 skulle exkluderas,<br />
i enlighet med kommunrapporten. Därefter befalldes SPSS att koda om dem i en<br />
dikotom filtreringsvariabel som antog värdet 0 om medelvärdet ej överskred 60<br />
µg/m 3 eller antog värdet 1 om den överskred 60 µg/m 3 . Därefter summerade jag alla<br />
ettorna och enligt dessa beräkningar på det urpsrungliga datasetet så bör<br />
gränsöverskridningsfrekvensen med avseende på dygnsmedelvärden vara 56.<br />
Samma procedur gjordes på det fullständiga datasetet och den justerade<br />
överskridningsfrekvensen summerades också till 56.<br />
• För 2007 anges i kommunens rapport en gränsöverskridningsfrekvens på 62. Jag<br />
kontrollerade detta på samma sätt som tidigare och fann att den siffran mycket riktigt<br />
bör vara 62.<br />
Samma procedur gjordes på det fullständiga datasetet och den justerade<br />
överskridningsfrekvensen summerades även den till 62.<br />
35
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
• För 2008 anges i kommunens rapport en gränsöverskridningsfrekvens på 41. Jag<br />
kontrollerade detta på samma sätt som tidigare och fann att den siffran bör vara 41,<br />
alltså överensstämmande siffror.<br />
Samma procedur gjordes på det fullständiga datasetet och den justerade<br />
överskridningsfrekvensen summerades till 40, därmed har ett imputerat värde för en<br />
saknad observation skattats lägre än dess tillhörande dygns medelvärde och på så<br />
sätt fått ner det under gränsen för överskridning. Detta är ytterligare ett exempel på<br />
varför det är olämpligt att bortse ifrån bortfallet i datafångsten.<br />
4.3.1.3. Årsmedelvärde<br />
• För 2006 anges i kommunens rapport ett årsmedelvärde på 42, vilket<br />
överensstämmer både med min egen beräkning på det ursprungliga datasetet samt<br />
med det årsmedelvärde som det framtagna fullständiga datasetet gav upphov till.<br />
• För 2007 anges i kommunens rapport ett årsmedelvärde på 44, vilket är något högre<br />
än min egen beräkning på det ursprungliga datasetet som gav ett årsmedelvärde på<br />
43. Det årsmedelvärde som det framtagna fullständiga datasetet gav upphov till<br />
visade sig också vara 43.<br />
• För 2008 anges i kommunens rapport ett årsmedelvärde på 41,6. Jag kontrollerade<br />
4.3.2. PM10<br />
detta på samma sätt som tidigare och fann att den siffran var korrekt. Årsmedelvärdet<br />
baserat på det fullständiga datasetet blev även det 41,6.<br />
Tillvägagångssättet för kontroll av tidigare beräkningar baserade på det ursprungliga datasetet<br />
samt för nya beräkningar baserade på det imputerade fullständiga datasetet är likadant för<br />
PM10 som det var för NO2. Nedan följer beräkningar för gränsöverskridningsfrekvensen med<br />
avseende på olika mått:<br />
36
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
4.3.2.1. Dygnsmedelvärde<br />
• För 2006 anges i kommunrapporten en gränsöverskridningsfrekvens på 34, vilket<br />
överenstämmer med min kontrollräkning. Däremot visar det sig att det fullständiga<br />
datasetet genererat 35 gränsöverskridande dygn.<br />
• För 2007 anges i kommunrapporten en gränsöverskridningsfrekvens på 25, vilket<br />
inte överenstämmer med min kontrollräkning som säger att siffran bör vara 23.<br />
Däremot ger en beräkning baserad på det fullständiga datasetet en<br />
gränsöverskridningsfrekvens på hela 35 vilket för tillbaka<br />
gränsöverskridningsfrekvensen till 2006 års nivåer.<br />
• För 2008 anges i kommunrapporten en gränsöverskridningsfrekvens på 28, vilket<br />
överenstämmer både med min kontrollräkning baserad på det ursprungliga datasetet<br />
samt den gränsöverskridningsfrekvens som beräknades baserad på det fullständiga<br />
datasetet.<br />
4.3.2.2. Årsmedelvärde<br />
• För 2006 anges i kommunens rapport ett årsmedelvärde på 28,7 vilket<br />
överensstämmer med min egen beräkning på det ursprungliga datasetet sånär som på<br />
ett avrundningsfel upp till 28,8. Det årsmedelvärde som det fullständiga datasetet gav<br />
upphov till var även det 28,7.<br />
• För 2007 anges i kommunens rapport ett årsmedelvärde på 26, men som enligt min<br />
egen beräkning på det ursprungliga datasetet bör vara 27,3. Beräkningen baserad på<br />
det fullständiga datasetet tar ner årsmedelvärdet till 27,1.<br />
• För 2008 anges i kommunens rapport ett årsmedelvärde på 25,4. Jag kontrollerade<br />
detta på samma sätt som tidigare och fann att den siffran var korrekt. Årsmedelvärdet<br />
baserat på det fullständiga datasetet blev 25,6.<br />
37
5. Diskussion<br />
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
5.1. Antaganden om MCAR/MAR samt klassificering av bortfallsmekanismen<br />
I avsnitt 2.5 Datafångst så konstaterades att bortfallet inte tycks vara relaterat till värdet på NO2 eller<br />
PM10 för respektive dataset. Det gick heller inte att hitta någon indikation på att specifika värden på<br />
timmar, dagar, eller månader förmådde förklara bortfallet, utan den information som gick att utvinna<br />
var att bortfallet följde en trend där skillnaden i antalet fångade observationer mellan olika värden på<br />
de inkluderade faktorerna tycktes växa ju större tidsspann dem innefattade. Störst var skillnaderna<br />
mellan årets tolv månader, därefter skillnaden mellan veckans sju dagar, och minst var skillnaden<br />
mellan dygnets tjugofyra timmar. Detta anser jag tyder på att bortfallen kommer ”i klump” och därmed<br />
bildar luckor eller glapp i tidsserien. Man kan t.e.x. tänka sig att en mätstation drabbas av<br />
strömavbrott, och att det hinner gå ett antal timmar innan detta uppmärksammats, rapporterats och<br />
slutligen åtgärdats. Därmed går ett antal observationer irad förlorade snarare än enstaka<br />
observationer slumpmässigt placerade i mätprocessen. Inget i denna trend talar dock emot det tidigare<br />
postulerade antagandet om MCAR i avsnitt 1.2.1.1, och jag ser heller ingen intuitiv förklaring till varför<br />
bortfallet inte skulle vara MCAR. Jag har slutligen tittat på väntetider mellan att mätningarna går ner,<br />
för om de är exponentialfördelade, därmed slumpmässiga, så är det ett argument som talar för MCAR.<br />
Som framgår av Q-Q plottarna mot exponentialfördelningen så tycks detta gälla för NO2 men är något<br />
mer tveksamt för PM10. 33 Vad detta beror på är svårt att säga, men jag tycker ändå att det är<br />
tillräckligt nära för att inte vara ett argument emot MCAR för någon av variablerna. Därmed anser jag<br />
att såsom bortfallet hitills har sett ut för samhällsbyggnadskontoret/miljö- och hälsoskydd i <strong>Umeå</strong>s<br />
mätningar av NO2 och PM10 utmed Västra Esplanaden så kan det antas vara Missing Completely At<br />
Random, MCAR.<br />
Som jag nämnde i avsnitt 1.2.1.2 så anser Allison (2001) att antaganden om MAR och<br />
ignorerbar bortfallsmekanism är ekvivalent, och eftersom MAR är ett svagare antagande än MCAR så<br />
bör bortfallsmekanismen i detta fall i alla anseenden betraktas som ignorerbar i bemärkelsen att det<br />
inte skulle tillföra modellen något att försöka modellera bortfallsmekanismen.<br />
33 Läsaren hänvisas till Bilaga 5 vad gäller Q-Q plottar mot exponentialfördelningen för NO2 och PM10<br />
38
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
5.2. Slutsatser av tidigare studier<br />
Jag skulle nu vilja återknyta till de några av de studier som nämndes i avsnitt 1.2 Tidigare Studier för<br />
att förtydliga och förklara några av de val jag gjort under arbetets gång.<br />
För att återkoppla till diskussionen som jag kortfattat förde på sidan 29 angående den<br />
höga Ljung-Box statistikan för dem ansatta tidsseriemodellerna, betänk tidigare nämnda Philip K.<br />
Hopkes, Chuanhai Lius, och Donald B. Rubins artikel om strategier för att hantera saknade<br />
observationer genom att titta på tidsseriedata av luftföroreningar i Arktis där författarna sluter sig till<br />
att:<br />
”imputationsmodeller i regel inte behöver vara lika exakta som<br />
kompletta datamodeller, eftersom imputationsmodellerna endast<br />
påverkar den del av datat som är imputerat. Om exempelvis en<br />
imputationsmodell är 10 % ofullständig för ett dataset med 30 %<br />
saknade observationer så kommer den slutgiltiga modellen endast<br />
vara 3 % ofullständig för den slutgiltiga inferensen.”<br />
Ljung-Box statistikan är alltså en teststatistika som indikerar huruvida allt det tidsberoende<br />
som finns i datat fångats upp av modellen, dvs om endast ”vitt brus” finns kvar i datat. Då denna<br />
fick ett signifikant högt värde så förkastades nollhypotesen om vitt brus, men vad betyder detta<br />
för just denna undersökning?<br />
Det huvudsakliga ändamålet med att modellera tidsberoendet var den här gången att få<br />
fram variabler som korrelerade starkt med responsvariabeln i fråga för att på så sätt möjliggöra<br />
en linjärprediktion av de saknade observationerna i respektive dataset med hjälp av dessa. Det<br />
avgörande var alltså inte att få med precis allt tidsberoende som fanns i datasetet, utan det<br />
starkaste, mest väsentliga tidsberoendet, vilket uppnåddes. För man sedan in det ovan nämnda<br />
perspektivet om skillnaden i krav på en imputationsmodell och en komplett datamodell så ter<br />
sig implikationen av den höga Ljung-Box statistikan än mindre relevant. Detta i kombination<br />
med att de faktiska värden som slutligen imputerades är högst realistiska, samt Szymon<br />
Hoffmans slutsats att predikteringen av NOx är bättre när höga halter uppmätts (som här är<br />
fallet, <strong>Umeå</strong>s utomhusluft är i denna bemärkelse mer förorenad än de bägge polska städernas<br />
utomhusluft), gör att jag står fast vid min tidigare ståndpunkt om att den tidsseriemodellering<br />
som genomfördes var korrekt utifrån de premisser som förelåg.<br />
39
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
5.3. Metodkontroll<br />
För att kontrolla den tillämpade metoden så genomförde jag en kontrollprocedur där jag utgick<br />
ifrån de observerade värdena som fanns i variabeln NO2 och slumpade därefter ut cirka 5% av<br />
dessa som fick agera kontrollvärden. Jag skapade sedan ett nytt dataset där kontrollvärdena togs<br />
bort för att sedan skattas med multipel imputation, och följande resultat erhölls:<br />
o Av de kontrollvärden som slumpades fram så hade 65 av dessa ett uppmätt värde<br />
som överskred MKN, dvs 90 μg/m 3 . Av motsvarande 65 observationer i det poolade<br />
imputationssetet så hade 55st ett skattat värde som överskred MKN, därmed<br />
predikterades ca 84,6 % korrekt av just dess 65 observationer.<br />
o Av de totala antalet skattade värden i det poolade imputationssetet så hade 68st ett<br />
gränsöverskridande värde, vilket ger en sammanlagd överprediktion på ca 4, 6%.<br />
Detta anser jag vara mycket tillfredsställande för undersökningens ändamål - skattning av<br />
gränsöverskridningsfrekvensen - som medför att högst prioritet ges en så exakt skattning som<br />
möjligt men sedan att felskattningarna hellre hamnar på ovansidan av det förväntade värdet, så att<br />
säga.<br />
5.4. Metodens implikationer<br />
I avsnitt 4.3 Nya skattningar av gränsöverskridningsfrekvenser så framgår det hur den multipla<br />
imputationsprocessens praktiska implikationer faller ut med avseende på tim-, dygns- och<br />
årsmedelvärden. De flesta förändringarna i gränsöverskridningsfrekvenserna är relativt<br />
marginella, utom vad gäller dygnsmedelvärdena för PM10. Där har imputationsprocessen bidragit<br />
på ett betydelsefullt sätt genom att skatta gränsöverskridningsfrekvensen till 35 vilket är precis<br />
den gränsöverskridningsfrekvens som är tillåten på ett år, och betydligt högre än den tidigare<br />
rapporterade frekvensen på 25.<br />
Även om dessa praktiska följder av metodens tillämpning givetvis är fundamentala, så<br />
finns där andra perspektiv värda att begrunda. För vad innebär det inte för trovärdigheten i det<br />
miljöarbete som bedrivs från en stads och kommuns sida att de mätningar av luftföroreningar som<br />
görs också är så korrekta som möjligt?<br />
40
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
6. Tillkännagivanden<br />
Jag vill tacka Fredrik Lönneborg vid samhällsbyggnadskontoret/miljö- och hälsoskydd för att ha<br />
efterfrågat detta intressanta uppsatsämne samt försett mig med allt det dataunderlag som använts i<br />
uppsatsen. Jag vill också tacka Göran Arnoldsson vid Statistiska Institutionen, <strong>Umeå</strong> Universitet som<br />
handlett mig under uppsatsskrivandet och kommit med många insiktsfulla synpunkter och idéer.<br />
7. Referenser<br />
7.1. Litteratur<br />
Chatfield, Chris. (2003). The analysis of Time Series, an introduction, 6 th ed. Chapman &<br />
Hall/CRC.<br />
Tabachnik, B.G, Fidell, L.S. (2007) Using Multivariate Statistics, 5:th ed. Pearson Education, Inc.<br />
7.2. Artiklar och skrivelser<br />
Allison, P.D. (2001). Missing Data. Sage University Papers Series on Quantative Applications in<br />
the Social Sciences, 07-136. Thousand Oaks, CA: Sage.<br />
Hoffman, S. (2006). Short-Time Forecasting of Atmospheric NOx Concentration by Neural<br />
Networks. Environmental Engineering Science, Vol.23, No. 4, p. 603 – 609<br />
Hopke, P.K. Liu, C. Rubin, D.B. (2001) Multiple Imputation for Multivariate Data with Missing<br />
and Below-Threshold Measurements: Time-Series Concentrations of Pollutants in the<br />
Arctic. Biometrics, 57, p. 22-33.<br />
Iversen, G. R. (1976). Bayesian Statistical Inference. Sage University Papers Series on<br />
Quantative Applications in the Social Sciences, 07-001. Beverly Hills and London: Sage.<br />
Li, K.H. Raghunathan, T.E. Rubin, D.B. (1991) Large-Sample Significance Levels from Multiply<br />
Imputed Data Using Moment-Based Statistics and an F Reference Distribution. Journal of<br />
the American Statistical Association. 86, 1065-1073<br />
Palma, W. Del Pino, G. (1999) Statistical Analysis of incomplete long-range dependent data.<br />
Biometrica, 86, 4, p. 965 – 972.<br />
Rubin, D.B. (1976). Inference and missing data. Biometrica, 63, p. 581-592.<br />
41
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
Samhällsbyggnadskontoret Miljö – och hälsoskydd, (2006). <strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong> – Sammanställning<br />
av mätningar vid Västra Esplanaden 2006-01-01 – 2006-12-31. <strong>Umeå</strong> Kommun.<br />
Samhällsbyggnadskontoret Miljö – och hälsoskydd, (2007). <strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong> – Sammanställning<br />
av mätningar vid Västra Esplanaden 2007-01-01 – 2007-12-31. <strong>Umeå</strong> Kommun.<br />
Samhällsbyggnadskontoret Miljö – och hälsoskydd, (2008). <strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong> – Sammanställning<br />
av mätningar vid Västra Esplanaden 2008-01-01 – 2008-12-31. <strong>Umeå</strong> Kommun.<br />
Schafer, J.L. (1997) Analysis of Incomplete Multivariate Data. London: Chapman and Hall<br />
7.3. Övriga källor<br />
SPSS Statistics 17.0 (2008-12-01) SPSS Multiple Imputation Pooling Algorithms: Combining<br />
Results After Multiple Imputation.<br />
42
Bilaga 1a<br />
Valid<br />
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
Hour_Day<br />
Frequency Percent Valid Percent<br />
1:00 1071 4,1 4,2<br />
2:00 1071 4,1 4,2<br />
3:00 1071 4,1 4,2<br />
4:00 1071 4,1 4,2<br />
5:00 1071 4,1 4,2<br />
6:00 1071 4,1 4,2<br />
7:00 1071 4,1 4,2<br />
8:00 1071 4,1 4,2<br />
9:00 1071 4,1 4,2<br />
10:00 1069 4,1 4,2<br />
11:00 1066 4,1 4,2<br />
12:00 1064 4,0 4,1<br />
13:00 1064 4,0 4,1<br />
14:00 1067 4,1 4,2<br />
15:00 1069 4,1 4,2<br />
16:00 1069 4,1 4,2<br />
17:00 1070 4,1 4,2<br />
18:00 1071 4,1 4,2<br />
19:00 1071 4,1 4,2<br />
20:00 1072 4,1 4,2<br />
21:00 1072 4,1 4,2<br />
22:00 1072 4,1 4,2<br />
23:00 1071 4,1 4,2<br />
24:00 1068 4,1 4,2<br />
Total 25674 97,6 100,0<br />
Missing System 630 2,4<br />
Total 26304 100,0<br />
NO2 frekvenser<br />
Valid<br />
Day_Week<br />
Frequency Percent Valid Percent<br />
Sunday 3695 14,0 14,4<br />
Monday 3692 14,0 14,4<br />
Tuesday 3684 14,0 14,3<br />
Wednesday 3669 13,9 14,3<br />
Thursday 3620 13,8 14,1<br />
Friday 3642 13,8 14,2<br />
Saturday 3672 14,0 14,3<br />
Total 25674 97,6 100,0<br />
Missing System 630 2,4<br />
Total 26304 100,0<br />
Valid<br />
Month_Year<br />
Frequency Percent Valid Percent<br />
January 2232 8,5 8,7<br />
February 2040 7,8 7,9<br />
March 2231 8,5 8,7<br />
April 2160 8,2 8,4<br />
May 2232 8,5 8,7<br />
June 2153 8,2 8,4<br />
July 2063 7,8 8,0<br />
August 1916 7,3 7,5<br />
September 2160 8,2 8,4<br />
October 2198 8,4 8,6<br />
November 2077 7,9 8,1<br />
December 2212 8,4 8,6<br />
Total 25674 97,6 100,0<br />
Missing System 630 2,4<br />
Total 26304 100,0<br />
43
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
Observationsfrekvens för dygnets<br />
24 timmar, NO2<br />
Observationsfrekvens för veckans<br />
7 dagar, NO2<br />
Observationsfrekvens för årets<br />
12 månader, NO2<br />
44
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
Hour Mean Std. Dev. Minimum Maximum<br />
1:00 31,88719 18,829105 3,820 136,320<br />
2:00 28,20931 16,780096 3,820 119,040<br />
3:00 25,63964 15,679387 3,820 115,200<br />
4:00 23,25044 14,538450 1,910 105,600<br />
5:00 23,64969 14,254822 1,910 82,130<br />
6:00 31,21571 19,093410 1,910 130,560<br />
7:00 44,06809 26,803747 1,910 172,800<br />
8:00 51,60415 31,960966 3,820 289,920<br />
9:00 51,19729 32,883649 3,820 309,120<br />
10:00 48,13401 27,983434 3,840 263,040<br />
11:00 47,43885 27,229944 5,760 282,240<br />
12:00 46,18478 23,701947 7,640 174,720<br />
13:00 46,84300 23,221826 5,760 203,520<br />
14:00 47,47724 23,962352 7,680 205,440<br />
15:00 49,79972 24,896616 3,840 195,840<br />
16:00 52,41969 27,354149 5,760 276,480<br />
17:00 53,20072 29,020041 7,680 332,160<br />
18:00 50,93627 28,708077 5,760 303,360<br />
19:00 48,71179 28,096443 5,730 316,800<br />
20:00 47,30751 25,512849 5,730 230,400<br />
21:00 46,55369 24,819503 5,760 224,640<br />
22:00 45,09551 23,218393 5,760 199,680<br />
23:00 41,67712 22,697433 5,730 222,720<br />
24:00 36,77286 20,181494 3,820 149,760<br />
NO2 medelvärden<br />
Day Mean Std. Dev. Minimum Maximum<br />
Sunday 30,967 20,469091 1,910 205,440<br />
Monday 45,744 28,955677 3,820 291,840<br />
Tuesday 46,953 25,302539 5,730 316,800<br />
Wednesday 48,018 26,763055 3,840 309,120<br />
Thursday 48,199 26,617572 3,840 261,120<br />
Friday 45,021 27,555450 3,840 332,160<br />
Saturday 32,497 19,329534 3,820 140,160<br />
Month Mean Std. Dev. Minimum Maximum<br />
January 45,261 29,800762 3,840 253,440<br />
February 51,517 28,243067 5,760 205,440<br />
March 52,795 26,932706 5,730 182,400<br />
April 40,024 23,756153 3,840 222,720<br />
May 40,734 19,576454 5,760 147,840<br />
June 33,780 16,245555 3,820 96,000<br />
July 29,060 13,691939 3,820 80,640<br />
August 36,930 17,201631 3,840 110,780<br />
September 38,877 21,326914 1,920 134,400<br />
October 44,441 28,922597 3,820 289,920<br />
November 52,967 38,147708 3,840 332,160<br />
December 42,433 26,821890 1,910 316,800<br />
45
Bilaga 1b<br />
Valid<br />
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
Hour_Day<br />
Frequency Percent Valid Percent<br />
1:00 1035 3,9 4,2<br />
2:00 1034 3,9 4,2<br />
3:00 1033 3,9 4,2<br />
4:00 1030 3,9 4,1<br />
5:00 1032 3,9 4,2<br />
6:00 1033 3,9 4,2<br />
7:00 1034 3,9 4,2<br />
8:00 1034 3,9 4,2<br />
9:00 1031 3,9 4,1<br />
10:00 1029 3,9 4,1<br />
11:00 1030 3,9 4,1<br />
12:00 1033 3,9 4,2<br />
13:00 1039 3,9 4,2<br />
14:00 1041 4,0 4,2<br />
15:00 1041 4,0 4,2<br />
16:00 1041 4,0 4,2<br />
17:00 1043 4,0 4,2<br />
18:00 1041 4,0 4,2<br />
19:00 1039 3,9 4,2<br />
20:00 1040 4,0 4,2<br />
21:00 1040 4,0 4,2<br />
22:00 1039 3,9 4,2<br />
23:00 1035 3,9 4,2<br />
24:00 1032 3,9 4,2<br />
Total 24859 94,5 100,0<br />
Missing System 1445 5,5<br />
Total 26304 100,0<br />
PM10 frekvenser<br />
Day_Week<br />
Frequency Percent Valid Percent<br />
Valid Sunday 3510 13,3 14,1<br />
Monday 3501 13,3 14,1<br />
Tuesday 3552 13,5 14,3<br />
Wednesday 3580 13,6 14,4<br />
Thursday 3531 13,4 14,2<br />
Friday 3602 13,7 14,5<br />
Saturday 3583 13,6 14,4<br />
Total 24859 94,5 100,0<br />
Month_Year<br />
Frequency Percent Valid Percent<br />
Valid January 2223 8,5 8,9<br />
February 1905 7,2 7,7<br />
March 1951 7,4 7,8<br />
April 2079 7,9 8,4<br />
May 2134 8,1 8,6<br />
June 1960 7,5 7,9<br />
July 2228 8,5 9,0<br />
August 2100 8,0 8,4<br />
September 2012 7,6 8,1<br />
October 2156 8,2 8,7<br />
November 1923 7,3 7,7<br />
December 2188 8,3 8,8<br />
Total 24859 94,5 100,0<br />
46
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
Observationsfrekvens för dygnets<br />
24 timmar, PM10<br />
Observationsfrekvens för veckans<br />
6 dagar, PM10<br />
Observationsfrekvens för årets<br />
12 månader, PM10<br />
47
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
PM10_Corr * Hour_Day<br />
Hour_Day Mean Std. Deviation Minimum Maximum<br />
1:00 21,6173 24,89805 1,43 296,53<br />
2:00 18,8138 19,77820 1,08 277,08<br />
3:00 16,4212 15,83727 ,84 257,53<br />
4:00 15,1834 14,76192 ,65 235,82<br />
5:00 16,1350 18,42395 ,13 379,08<br />
6:00 22,2564 34,34047 ,52 440,28<br />
7:00 30,2658 47,74623 ,65 572,04<br />
8:00 32,8663 44,53998 ,91 627,12<br />
9:00 30,3016 35,71811 1,69 351,91<br />
10:00 29,5840 41,06717 1,69 711,88<br />
11:00 28,5230 33,65061 3,38 374,16<br />
12:00 28,5355 30,98290 4,55 346,19<br />
13:00 29,7880 32,70658 ,39 284,57<br />
14:00 30,2013 33,17407 1,32 257,40<br />
15:00 31,8021 37,08935 2,60 476,58<br />
16:00 32,8518 36,72943 3,48 328,77<br />
17:00 32,5355 38,11726 1,04 326,69<br />
18:00 30,7905 37,48204 1,82 364,44<br />
19:00 29,6830 36,00751 2,99 352,30<br />
20:00 29,5784 41,27724 ,26 512,20<br />
21:00 30,0786 43,75199 2,21 549,12<br />
22:00 29,7886 43,51460 ,65 586,68<br />
23:00 28,8654 42,76460 1,68 726,84<br />
24:00 25,0358 38,38792 1,43 886,80<br />
PM10 medelvärden<br />
PM10_Corr * Day_Week<br />
Day_Week Mean Std. Deviation Minimum Maximum<br />
Sunday 19,2006 22,73537 ,65 430,30<br />
Monday 28,3814 38,08098 ,84 572,04<br />
Tuesday 30,1593 38,81539 ,26 711,88<br />
Wednesday 30,2539 37,26477 ,91 586,68<br />
Thursday 33,0223 46,97277 1,82 886,80<br />
Friday 28,9116 36,94870 ,13 627,12<br />
Saturday 20,1461 20,24763 ,39 254,54<br />
PM10_Corr * Month_Year<br />
Month_Year Mean Std. Deviation Minimum Maximum<br />
January 17,8311 17,26375 ,26 259,35<br />
February 28,3368 35,32924 1,92 364,44<br />
March 44,8268 63,07492 ,52 627,12<br />
April 57,6509 71,99017 1,43 886,80<br />
May 36,2279 30,61315 1,82 374,66<br />
June 22,3526 20,22735 1,08 711,88<br />
July 16,8711 8,67443 2,52 99,06<br />
August 21,3507 11,62742 2,40 99,71<br />
September 21,3742 13,58620 ,39 117,72<br />
October 26,2629 29,59338 ,13 451,80<br />
November 18,1696 19,25795 ,91 191,62<br />
December 16,4849 14,45233 ,84 218,66<br />
48
Bilaga 2a<br />
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
NO2 tidsseriemodellering<br />
Spridningsdiagram före (t.h.) och efter (t.v.) logaritmering av NO2.<br />
Normalitetsplott (m.a.p. kvartilerna: Q-Q) före (t.v.) och efter (t.h.) logaritmering av NO2.<br />
49
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
Tidsseriediagram för logaritmen av NO2 före säsongsdifferentiering.<br />
Tidsseriediagram för logaritmen av NO2 efter säsongsdifferentiering<br />
Utskrift till Dickey-Fuller test av enhetsrot för logaritmen av NO2 efter säsongsdifferentiering<br />
Coefficients a,b<br />
Unstandardized Coefficients<br />
Model B Std. Error Sig.<br />
1 LAGS(ln_NO2_Corr,24) -,017 ,001 ,000<br />
a. Dependent Variable: SDIFF(ln_NO2_Corr,1,24)<br />
b. Linear Regression through the Origin<br />
50
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
Plott av den partiella autokorrelationsfunktionen för logaritmen av NO2.<br />
Plott av autokorrelationsfunktionen för logaritmen av NO2.<br />
51
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
Plott av autokorrelationsfunktionen (t.v.) samt partiella autokorrelationsfunktionen (t.h.) för logaritmen<br />
av NO2 efter ansättande av en AR(1) process.<br />
Plott av autokorrelationsfunktionen (t.v.) samt partiella autokorrelationsfunktionen (t.h.) för logaritmen<br />
av NO2 efter ansättande av en SARIMA (1,0,0)(0,1,1) 24 process.<br />
Model<br />
Utskrift med modellens Ljung-Box statistika och förklaringsgrad.<br />
Number of<br />
Predictors<br />
Model Statistics<br />
Model Fit statistics Ljung-Box Q(18)<br />
Stationary R-<br />
squared R-squared Statistics DF Sig.<br />
Number of<br />
Outliers<br />
µg/m3_Corr-Model_1 0 ,861 ,821 244,156 16 ,000 0<br />
52
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
Spridningsdiagram för den ansatta modellens residualer.<br />
Tidsseriediagram för den ansatta modellens residualer.<br />
53
Bilaga 2b<br />
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
PM10 tidseriemodellering<br />
Spridningsdiagram före (t.h.) och efter (t.v.) logaritmering av PM10.<br />
Normalitetsplott (m.a.p. kvartilerna: Q-Q) före (t.v.) och efter (t.h.) logaritmering av PM10.<br />
54
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
Tidsseriediagram för logaritmen av PM10 före säsongsdifferentiering.<br />
Tidsseriediagram för logaritmen av PM10 efter säsongsdifferentiering<br />
Utskrift till Dickey-Fuller test av enhetsrot för logaritmen av PM10 efter säsongsdifferentiering<br />
Coefficients a,b<br />
Unstandardized Coefficients<br />
Standardized<br />
Coefficients<br />
Model B Std. Error Beta t Sig.<br />
1 LAGS(ln_pm10_Corr,24) -,032 ,002 -,129 -20,316 ,000<br />
a. Dependent Variable: SDIFF(ln_pm10_Corr,1,24)<br />
b. Linear Regression through the Origin<br />
55
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
Plott av autokorrelationsfunktionen (t.v.) samt partiella autokorrelationsfunktionen (t.h.) för logaritmen<br />
av PM10.<br />
Plott av autokorrelationsfunktionen (t.v.) samt partiella autokorrelationsfunktionen (t.h.) för logaritmen<br />
av PM10 efter ansättande av en AR(1) process.<br />
56
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
Plott av autokorrelationsfunktionen (t.v.) samt partiella autokorrelationsfunktionen (t.h.) för logaritmen<br />
av PM10 efter ansättande av en SARIMA(1,0,0)(0,1,1) 24 process.<br />
Model<br />
Utskrift för modellen med Ljung-Box statistika och förklaringsgrad<br />
Number of<br />
Predictors<br />
Model Statistics<br />
Model Fit<br />
statistics Ljung-Box Q(18)<br />
Stationary R-<br />
squared Statistics DF Sig.<br />
Number of<br />
Outliers<br />
PM10_Corr-Model_1 0 ,821 69,372 16 ,000 0<br />
57
Bilaga 3a<br />
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
Imputationsprocessen för NO2<br />
Imputation Specifications<br />
Imputation Method Fully Conditional Specification<br />
Number of Imputations 5<br />
Model for Scale Variables Linear Regression<br />
Interactions Included in<br />
Models<br />
(none)<br />
Imputation Constraints<br />
Role in Imputation Imputed Values<br />
Dependent Predictor Minimum Maximum<br />
Log of NO2_Corr Yes Yes (none) (none)<br />
LAGS(ln_NO2_Corr,1) No Yes<br />
Noise residual from<br />
ln_NO2_Corr-Model_1<br />
No Yes<br />
Hour_Day No Yes<br />
Day_Week No Yes<br />
Month_Year No Yes<br />
Utskrift med numeriska beskrivningar för de återskapade dataseten samt det ursprungliga.<br />
Data<br />
Impu<br />
ln_NO2_Corr<br />
tation N Mean<br />
Std.<br />
Deviation Minimum Maximum<br />
Original Data 25673 3,5629 ,63500 ,6471 5,8056<br />
Imputed Values<br />
Complete Data After<br />
Imputation<br />
1 631 3,5004 ,63703 1,7437 5,3306<br />
2 631 3,5090 ,64534 1,8020 6,1026<br />
3 631 3,4678 ,66542 1,6253 5,4648<br />
4 631 3,4529 ,62050 1,4495 5,2146<br />
5 631 3,4512 ,62720 1,5572 5,0946<br />
1 26304 3,5614 ,63511 ,6471 5,8056<br />
2 26304 3,5616 ,63529 ,6471 6,1026<br />
3 26304 3,5606 ,63590 ,6471 5,8056<br />
4 26304 3,5602 ,63487 ,6471 5,8056<br />
5 26304 3,5602 ,63503 ,6471 5,8056<br />
58
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
Plott över konvergens i iterationsprocessen för medelvärde (övre) samt standardavvikelse (undre).<br />
59
Bilaga 3b<br />
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
Imputationsprocessen för PM10<br />
Imputation Specifications<br />
Imputation Method Fully Conditional Specification<br />
Number of Imputations 5<br />
Model for Scale Variables Linear Regression<br />
Interactions Included in<br />
Models<br />
(none)<br />
Imputation Constraints<br />
Role in Imputation Imputed Values<br />
Dependent Predictor Minimum Maximum<br />
ln_pm10_Corr Yes Yes (none) (none)<br />
LAGS(ln_pm10_Corr,1) No Yes<br />
Noise residual from<br />
ln_pm10_Corr-Model_1<br />
No Yes<br />
Hour_Day No Yes<br />
Day_Week No Yes<br />
Month_Year No Yes<br />
Utskrift med numeriska beskrivningar för de återskapade dataseten samt det ursprungliga.<br />
Data<br />
Imputati<br />
ln_pm10_Corr<br />
on N Mean Std. Deviation Minimum Maximum<br />
Original Data 24859 2,95033 ,755876 -2,04022 6,78762<br />
Imputed Values<br />
Complete Data After<br />
Imputation<br />
1 1445 3,01567 ,741689 ,57627 6,40109<br />
2 1445 2,99290 ,759442 ,40406 6,39995<br />
3 1445 3,00139 ,730950 ,38324 5,94190<br />
4 1445 2,96027 ,740780 ,57726 5,51256<br />
5 1445 3,01582 ,745752 ,38470 5,90594<br />
1 26304 2,95392 ,755236 -2,04022 6,78762<br />
2 26304 2,95267 ,756120 -2,04022 6,78762<br />
3 26304 2,95313 ,754604 -2,04022 6,78762<br />
4 26304 2,95088 ,755044 -2,04022 6,78762<br />
5 26304 2,95393 ,755456 -2,04022 6,78762<br />
60
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
Plott över konvergens i iterationsprocessen för medelvärde (övre) samt standardavvikelse (undre).<br />
61
Bilaga 4a<br />
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
NO2 gränsöverskridningsfrekvens: timmedelvärden<br />
2006 enligt min beräkning på ursprungligt dataset<br />
Descriptive Statistics<br />
N Sum<br />
NO2_1910 > 90 (FILTER) 296 296<br />
Valid N (listwise) 296<br />
2006 enligt beräkning på fullständigt dataset<br />
imp_NO2_2006 > 90<br />
(FILTER)<br />
Descriptive Statistics<br />
Valid N (listwise) 298<br />
N Sum<br />
298 298<br />
2007 enligt min beräkning på ursprungligt dataset<br />
Descriptive Statistics<br />
N Sum<br />
NO2_1920 > 90 (FILTER) 566 566<br />
Valid N (listwise) 566<br />
2007 enligt beräkning på fullständigt dataset<br />
imp_NO2_2007 > 90<br />
(FILTER)<br />
Descriptive Statistics<br />
Valid N (listwise) 571<br />
N Sum<br />
571 571<br />
2008 enligt min beräkning på det ursprungliga datasetet<br />
Descriptive Statistics<br />
N Sum<br />
NO2_1920 > 90 (FILTER) 433 433<br />
Valid N (listwise) 433<br />
62
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
2008 enligt beräkning på fullständigt datatset<br />
imp_NO2_2008 > 90<br />
(FILTER)<br />
Descriptive Statistics<br />
Valid N (listwise) 433<br />
N Sum<br />
433 433<br />
NO2 gränsöverskridningsfrekvens: dygnsmedelvärden<br />
2006 enligt min beräkning på ursprungligt dataset<br />
Descriptive Statistics<br />
N Sum<br />
day_mean > 60 (FILTER) 56 56<br />
Valid N (listwise) 56<br />
2006 enligt beräkning på fullständigt dataset<br />
imp_day_mean > 60<br />
(FILTER)<br />
Descriptive Statistics<br />
Valid N (listwise) 56<br />
N Sum<br />
56 56<br />
2007 enligt min beräkning på ursprungligt dataset<br />
Descriptive Statistics<br />
N Sum<br />
day_mean > 60 (FILTER) 62 62<br />
Valid N (listwise) 62<br />
2007 enligt beräkning på fullständigt dataset<br />
imp_day_mean > 60<br />
(FILTER)<br />
Descriptive Statistics<br />
Valid N (listwise) 62<br />
N Sum<br />
62 62<br />
63
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
2008 enligt min beräkning på ursprungligt dataset<br />
Descriptive Statistics<br />
N Sum<br />
day_mean > 60 (FILTER) 41 41<br />
Valid N (listwise) 41<br />
2008 enligt beräkning på fullständigt dataset<br />
imp_day_mean > 60<br />
(FILTER)<br />
Descriptive Statistics<br />
Valid N (listwise) 40<br />
N Sum<br />
40 40<br />
2006 enligt mina beräkningar på ursprungligt data<br />
Descriptive Statistics<br />
N Mean<br />
µg/m3_Corr 8737 42,18396<br />
Valid N (listwise) 8737<br />
2006 enligt beräkningar på fullständigt dataset<br />
Descriptive Statistics<br />
N Mean<br />
imp_NO2_2006 8760 42,21728<br />
Valid N (listwise) 8760<br />
2007 enligt mina beräkningar på ursprungligt data<br />
Descriptive Statistics<br />
N Mean<br />
µg/m3_Corr 8369 43,59425<br />
Valid N (listwise) 8369<br />
NO2 årsmedelvärden<br />
64
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
2007 enligt beräkningar på fullständigt dataset<br />
Descriptive Statistics<br />
N Mean<br />
imp_µg/m3_Corr 8760 43,36712<br />
Valid N (listwise) 8760<br />
2008 enligt mina beräkningar på ursprungligt dataset<br />
Descriptive Statistics<br />
N Mean<br />
µg/m3_Corr 8567 41,64923<br />
Valid N (listwise) 8567<br />
2008 enligt beräkningar på fullständigt dataset<br />
Descriptive Statistics<br />
N Mean<br />
imp_µg/m3_Corr 8784 41,61032<br />
Valid N (listwise) 8784<br />
65
Bilaga 4b<br />
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
PM10 gränsöverskridningsfrekvens: dygnsmedelvärde<br />
2006 enligt min beräkning på ursprungligt dataset<br />
Descriptive Statistics<br />
N Sum<br />
day_mean > 50 (FILTER) 34 34<br />
Valid N (listwise) 34<br />
2006 enligt beräkningar på fullständigt dataset<br />
imp_day_mean > 50<br />
(FILTER)<br />
Descriptive Statistics<br />
Valid N (listwise) 35<br />
N Sum<br />
35 35<br />
2007 enligt mina beräkningar på ursprungligt dataset<br />
Descriptive Statistics<br />
N Sum<br />
day_mean > 50 (FILTER) 23 23<br />
Valid N (listwise) 23<br />
2007 enligt beräkningar på fullständigt dataset<br />
imp_day_mean > 50<br />
(FILTER)<br />
Descriptive Statistics<br />
Valid N (listwise) 35<br />
N Sum<br />
35 35<br />
2008 enligt mina beräkningar på ursprungligt dataset<br />
Descriptive Statistics<br />
N Sum<br />
day_mean > 50 (FILTER) 28 28<br />
Valid N (listwise) 28<br />
66
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
2008 enligt beräkningar på fullständigt dataset<br />
Descriptive Statistics<br />
N Sum<br />
imp_day_mean > 50 28 28<br />
2006 enligt mina beräkningar på ursprungligt dataset<br />
Descriptive Statistics<br />
N Mean<br />
PM10_Corr 8499 28,7737<br />
2006 enligt beräkningar på fullständigt dataset<br />
Descriptive Statistics<br />
N Mean<br />
Imputed_PM10_Corr 8760 28,74058<br />
PM10 årsmedelvärde<br />
2007 enligt mina beräkningar på ursprungligt dataset<br />
Descriptive Statistics<br />
N Mean<br />
PM10_Corr 8181 27,2510<br />
2007 enligt beräkningar på fullständigt dataset<br />
Descriptive Statistics<br />
N Mean<br />
Imputed_PM10_Corr 8760 27,06028<br />
2008 enligt mina beräkningar på ursprungligt dataset<br />
Descriptive Statistics<br />
N Mean<br />
PM10_Corr 8179 25,3856<br />
67
<strong>Luften</strong> i <strong>Umeå</strong><br />
Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen <strong>Umeå</strong> Universitet<br />
2008 enligt beräkningar på fullständigt dataset<br />
Descriptive Statistics<br />
N Mean<br />
Imputed_PM10_Corr 8784 25,57773<br />
Bilaga 5<br />
Q-Q plott för NO2<br />
Q-Q plott för PM10<br />
diff(duNO2$downs)<br />
diff(duPM10$downs)<br />
Q-Q plottar mot exponentialfördelningen<br />
5000<br />
4000<br />
3000<br />
2000<br />
1000<br />
0<br />
1200<br />
1000<br />
800<br />
600<br />
400<br />
200<br />
0<br />
0 1000 2000 3000 4000 5000<br />
function(p) qexp(p, rate = 1/mean(diff(duNO2$downs)))<br />
0 500 1000 1500<br />
function(p) qexp(p, rate = 1/mean(diff(duPM10$downs)))<br />
68