Luften i Umeå - Umeå universitet

Luften i Umeå 

En bortfallsanalys av samhällsbyggnadskontoret/miljö- och 

hälsoskydds mätningar av luftföroreningsvariablerna kvävedioxid 

(NO2) samt partiklar per kubikmeter luft (PM10), uppmätta vid 

Västra Esplanaden i centrala Umeå där multipel imputation 

tillämpats för att erhålla väntevärdesriktiga 

gränsöverskridningsfrekvenser. 

Gunnar Brandén 

Student 

VT 2009 

Kandidatuppsats, 15 hp 

Statistik C, 30 hp 

Handledare: Göran Arnoldsson


Gunnar Brandén VT09 Statistiska Institutionen Umeå Universitet 

Innehållsförteckning 

1. Inledning 5 

1.1. Bakgrund 5 

1.2. Tidigare Studier 6 

1.2.1. Rubin 6 

1.2.1.1. Missing Completely At Random (MCAR) 6 

1.2.1.2. Missing At Random (MAR) 7 

1.2.1.3. Ignorerbar Bortfallsmekanism 7 

1.2.1.4. Icke-ignorerbar Bortfallsmekanism 8 

1.2.2. Palma och Del Pino 8 

1.2.3. Hopke, Liu och Rubin 9 

1.2.4. Hoffman 9 

2. Datamaterialet 12 

2.1. Presentation 12 

2.2. Mätning av NO2 12 

2.3. Mätning av PM10 12 

2.4. Tidigare redovisning av data 12 

2.5. Datafångst 15 

2.5.1. NO2 15 

2.5.2. PM10 16 

3. Metoder 17 

3.1. Listvis uteslutning 17 

3.2. Medelvärdessubstitution 18 

3.3. Regression med konvergerande prediktionsvärden 19 

3.4. Box-Jenkin’s modell med prediktion av de saknade observationerna 20 

3.5. EM-algoritm 21 

3.6. Multipel Imputation (MI) 22 

3.7. Val av metod 26 

4. Imputationsprocessen 28 

2



4.1. Analys av en tidsserieprocess 28 

4.1.1. Modellering av tidsberoendet 29 

4.1.1.1. NO2 29 

4.1.1.2. PM10 32 

4.1.2. Övriga varaibler av intresse 32 

4.2. Tillämpning av multipel imputation 33 

4.3. Nya skattningar av gränsöverskridningsfrekvenser 33 

4.3.1. NO2 34 

4.3.1.1. Timmedelvärde 34 

4.3.1.2. Dygnsmedelvärde 35 

4.3.1.3. Årsmedelvärde 36 

4.3.2. PM10 36 

4.3.2.1. Dygnsmedelvärde 37 

4.3.2.2. Årsmedelvärde 37 

5. Diskussion 38 

5.1. Antaganden om MCAR/MAR samt klassificering av bortfallsmekanismen 38 

5.2. Slutsatser av tidigare studier 39 

5.3. Metodkontroll 40 

5.4. Metodens implikationer 40 

6. Tillkännagivanden 41 

7. Referenser 41 

7.1. Litteratur 41 

7.2. Artiklar och skrivelser 41 

7.3. Övriga källor 42 

8. Bilagor… 

8.1. 1a 43 

8.2. 1b 44 

8.3. 2a 49 

8.4. 2b 54 

8.5. 3a 58 

3



8.6. 3b 60 

8.7. 4a 62 

8.8. 4b 66 

8.9. 5 68 

4

1. Inledning 



1.1. Bakgrund 

I april 1999 antar riksdagen 15 nationella miljökvalitetsmål, varav ett är Frisk Luft vilket innebär att 

utomhusluften ska vara så ren att människors hälsa samt djur, växter och kulturvärden inte skadas. 

Samhällsbyggnadskontoret/miljö- och hälsoskydd i Umeå är tillsynsmyndighet enligt Miljöbalken med 

tillhörande förordningar gällande utomhusluften i Umeå Kommun. Med utgångpunkt i EU-direktivet 

ramdirektivet för luftkvalitet 96/62/EG samt dotterdirektiven 1999/30/EG, 2000/69/EG och 2002/3/EG 

har bindande nationella föreskrifter utarbetats i form av Miljökvalitetsnormer (MKN) med avseende 

på kvävedioxid (NO2), partiklar (PM10), bly, kolmonoxid, bensen samt marknära ozon där mätning av 

de första två ämnena, NO2 samt PM10, visat på normöverskridande värden i Umeå. 1 

Att data sammanställs på ett korrekt sätt är av största vikt då kommuner kan bli ålagda att 

vidta åtgärdsprogram för att förbättra luftkvalitén samt att tillstånd inte får beviljas för verksamheter 

som försvårar att normvärden klaras. Därav har man från Umeå Kommuns sida efterfrågat en metod 

för att ta hand om saknade observationer och mätfel som uppstår i samband med mätning av 

variablerna NO2 och PM10, samt hur man bör sammanställa det insamlade datat för att spegla de 

lagstadgade normvärdena. 

Denna uppsats kommer således fokusera på att dels fastställa en lämplig metod för att ta 

hand om det saknade datamaterialet och sedan dra slutsatser om vilka effekter eller konsekvenser 

olika lösningar har på detta problem, men även beröra lämpliga analyseringsperspektiv med 

tillhörande sammanställningsförfaranden. Datamaterialet kommer att analyseras dels med avseende 

på antalet saknade observationer och mätfel, men också med avseende på någon form av systematik 

eller trend bland dessa. Denna analys kommer att vara avgörande för valet av metod att handskas med 

de saknade observationerna. 

Målsättningen är att använda den framtagna metoden för att skatta nya medelvärden och 

sedan jämföra dessa med avseende på gränsöverskridningsfrekvens mot de skattningar som gjordes 

av Samhällsbyggnadskontoret/miljö- och hälsoskydd i Umeå för 2006, 2007och 2008. 

1 Samhällsbyggnadskontoret Miljö – och hälsoskydd, (2006-01, 2007-01, 2008-02). Luften i Umeå – Sammanställning av 

mätningar vid Västra Esplanaden 2006-01-01 – 2008-12-31. Umeå Kommun. 

5



1.2. Tidigare studier 

1.2.1. Rubin 

I en numera klassisk artikel 2 av Donald B. Rubin definierar han fyra plausibla antaganden om de 

bortfallsmekanismer som påverkar om en observation kommer att saknas eller ej enligt: 

1.2.1.1. Missing Completely At Random (MCAR) 

Observationer som saknas på en variabel, Y, sägs vara MCAR om sannolikheten för att 

observationen kommer att saknas är orelaterad till värdet på Y samt alla andra variabler X (en 

variabelvektor), i datsetet: 

Pr(Y = saknas Y, X ) = Pr(Y= 

saknas) 

När MCAR antagandet är uppfyllt för samtliga variabler så kan de observerade värdena på Y ses 

som ett subsample av det ursprungliga datasetet, vilket innebär att de ursprungliga 

premisserna för antaganden om sannolikhet förblir intakta. Notera att saknade observationer 

på Y kan vara relaterade till förekomsten av saknade observationer på någon annan variabel Xi 

och fortfarande vara MCAR, restriktionen avser alltså endast värden på de andra variablerna 3. 

Exempel: 

Låt Y = ålder, X = kön 

I en undersökning vill man kartlägga åldersfördelningen i en stad med avseende på kön, detta 

med hjälp av en enkät där man ombeds tala om sin ålder (Y = 0, 1, 2, … ) samt om man är man 

eller kvinna (X = 0 om man, 1 om kvinna). Om respondenter som vägrat svara på hur gamla de 

är också vägrat att svara på om de är en man eller kvinna oaktat könstillhörighet eller ålder, 

så är de bortfallna observationerna fortfarande MCAR. Men om exempelvis män i högre 

utsträckning än kvinnor vägrat att tala om sin ålder så innebär det att värdet på X innehåller 

information om sannolikheten för att Y inte skall observeras, och därmed är de saknade 

observationerna inte MCAR. 

2 Rubin, D.B. (1976). Inference and missing data. Biometrica, 63, 581-592. 

3 Allison, P.D. (2001). Missing Data. Sage University Papers Series on Quantative Applications in the Social Sciences, 07-136. 

Thousand Oaks, CA: Sage. p 3-4. 

6



1.2.1.2. Missing At Random (MAR) 

Som namnet antyder så är antagandet om MAR ett svagare antagande än MCAR där 

observationer som saknas på en variabel, Y, sägs vara MAR om sannolikheten för saknade 

observationer på Y är orelaterad till värdet på Y efter att man kontrollerat för samtliga andra 

variabler, X, i datasetet: 

Exempel: 

Pr(Y= saknas Y, X ) = Pr(Y= 

saknas| 

X) 

I det föregående exemplet så fastställdes det att om män har en högre tendens att vägra delge 

sig av sin ålder så är de saknade observationerna på åldersvariabeln Y inte längre MCAR. Skulle 

det dock vara så att män vägrade att tala om sin ålder - oavsett vilken ålder de uppnått - så 

skulle de saknade observationerna på Y vara MAR. Sannolikheten för saknade observationer på 

Y får alltså vara olika mellan mansgruppen och kvinnogruppen, så länge sannolikheten för 

saknade observationer på Y inom de bägge grupperna är orelaterad till Y, i detta fall 

individernas ålder. 

1.2.1.3. Ignorerbar bortfallsmekanism 

En bortfallsmekanism sägs vara ignorerbar om: 

i. datat kan antas vara minst MAR 

ii. de parametrar som styr bortfallsmekanismen är orelaterade till de parameterar som 

skall estimeras i modellen. 

Att bortfallsmekanismen är ignorerbar innebär i princip att det inte tillför något att försöka 

modellera bortfallsmekanismen i estimationsprocessen. Allison (2001) går även så långt som att 

se antagandet om MAR och ignorerbarhet som ekvivalent 4. 

4 Allison, P.D. (2001). Missing Data. Sage University Papers Series on Quantative Applications in the Social Sciences, 07-136. 

Thousand Oaks, CA: Sage. p 5. 

7



1.2.1.4. Icke-ignorerar bortfallsmekanism 

Om datat inte kan antas vara MAR så sägs bortfallsmekanismen vara icke-ignorerbar. Detta 

innebär att statistikern bör modellera bortfallsmekanismen för att få tillförlitliga skattningar av 

parametrarna i sin modell. Allison (2001) påpekar dock att estimering av bortfallsmekanismen 

kräver mycket god förhandskunskap inom undersökningsområdet då datat för det första säger 

väldigt lite eller ingenting om vilken modell som kan vara lämplig att använda sig av och för det 

andra är väldigt känsligt för just valet av modell. 

1.2.2. Palma och Del Pino 

Wilfredo Palma och Guido Del Pino 5 har använt data på minivattennivåerna i floden Nilen och 

ansatt en Autoregressive Moving Average (ARMA) modell och en Autoregressive Fractionally 

Integrated Moving Average (ARFIMA) modell för att jämföra de bägge modellernas egenskaper 

med avseende på prediktionsfel i tidsseriedata när saknade observationer förekommer. 

Skillnaden mellan en ARMA modell och en ARFIMA modell är att tidsserien i ARFIMA modellen 

integreras fraktionellt, dvs med ett tal som inte är ett heltal. För en utförligare förklaring av en 

ARFIMA modell hänvisas till Chatfield 2003 6 men kortfattat så är den d:te differensen i en 

ARFIMA( p, d, q) modell en fraktionell differens vars binomiala uttryck ej konvergerar enligt: 

( 1 ) 

2 ( d −1) 

B d( 

d −1)( 

d − 2) 

⎡ 

⎤ 

− ... X 

3 

d 1− 

dB + d 

B 

B X t = ⎢ 

− 

− ⎥ 

⎣ 2! 

3! 

⎦ 

Där B är en backshiftoperator. Därmed erhålls en oändlig summa av viktade förflutna värden, vilket 

gjort att denna typ av modeller kommit att kallas Long-Memory Models och är exempelvis särskilt 

användbara för en AR(1) modell vars autokorrelationsfunktion inte ”dör ut” i ett exponentiellt 

förlopp 7 , vilket indikerar att observationer långt ifrån varandra fortfarande har ett visst beroende 

sinsemellan under förutsättningen att tidsserien i övrigt är stationär. 

Slutsatsen som Palma och Del Pino drar är att medan prediktionsfelet i en ARMA modell 

växer snabbare än i en ARFIMA modell i takt med att observationer saknas, så minskar också 

sedan prediktionsfelet snabbare i en ARMA modell då information återigen förs in i modellen, 

5 Palma, W. Del Pino, G. (1999) Statistical Analysis of incomplete long-range dependent data. Biometrica, 86, 4, p 965 – 972. 

6 Chatfield, C. (2003). The analysis of Time Series, an introduction. 6 th ed. Chapman & Hall/CRC. p 260-262. 

7 Ibid. 

t 

8



dvs då ”glappet” är passerat. För att exemplificera de hastigheter som prediktionsfelet rör sig 

med så tog det 55 saknade observationer för att Mean Square Prediction Error (MSPE) skulle 

öka till en viss nivå, medan det tog färre än sex observatoner för MSPE att återgå till 

ursprungsnivån, i en ARFIMA modell. 8 

1.2.3. Hopke, Liu och Rubin 

Philip K. Hopke, Chuanhai Liu, och Donald B. Rubin 9 skriver i en tekniskt relativt krävande 

artikel om strategier för att hantera saknade observationer genom att titta på tidsseriedata av 

luftföroreningar i Arktis och fokuserar sedan på multipel imputation. Jag återkommer till denna 

metod senare i uppsatsen men en central insikt som författarna sluter sig till är att 

imputationsmodeller i regel inte behöver vara lika exakta som kompletta datamodeller, 

eftersom imputationsmodellerna endast påverkar den del av datat som är imputerat. Om 

exempelvis en imputationsmodell är 10 % ofullständig för ett dataset med 30 % saknade 

observationer så kommer den slutgiltiga modellen endast vara 3 % ofullständig för den 

slutgiltiga inferensen. 

1.2.4. Hoffman 

Szymon Hoffman 10 har tittat på utvecklingen av prediktionsfelet i en tidsserieanalys med bl a 

mätningar på NO2 modellerat med ett Artifial Neural Network (ANN) med avseende på en 

lookahead variabel. Denna variabel ingick i modellerna som en tidsserieparameter och angav 

hur långt fram i tiden den modellerade outputen är ifrån den senast införda inputen, där 

modellernas precision förväntas bero på värdet av lookahead. En ANN modell är en matematisk 

modell som urpsrungligen utarbetades i ett försök att modellera hur den mänskliga hjärnan 

fungerar och kan ses som ett system som sammanbinder en eller flera ”inputs” till ett eller flera 

”outputs” på ett sätt som kan vara icke-linjärt men inte behöver vara det och kännetecknas 

vanligtvis av en s.k. feed-forward design som indikerar riktningarna i relationerna i ANN modell 

enligt: 

8 Palma, W. Del Pino, G. (1999) Statistical Analysis of incomplete long-range dependent data. Biometrica, 86, 4, p 965 – 972. 

9 Hopke, P.K. Liu, C. Rubin, D.B. (2001) Multiple Imputation for Multivariate Data with Missing and Below-Threshold 

Measurements: Time-Series Concentrations of Pollutants in the Arctic. Biometrics, 57, p 22-33. 

10 Hoffman, S. (2006). Short-Time Forecasting of Atmospheric NOx Concentration by Neural Networks. Environmental 

Engineering Science, Vol.23, No. 4, p. 603 - 609 

9



Input 

Input 

Input 

Nod 1 

Nod 2 

Output 

ANN modellen ovan består av 3 inputs varav den första till exempel skulle kunna vara en 

konstant samt den andra och tredje två olika variabler säg X1 = längd och X2 = ålder. I ett 

”mellanskikt” befinner sig noder eller neuroner som kan beskrivas som aktiveringsfunktioner 

där först en vikt appliceras mellan varje variabel Xi och varje nod i modellen som beskriver 

styrkan i varje koppling enligt: 

Därefter konverteras varje kvantitet 

v 

j 

∑ 

= i 

w x 

i 

i 

v till det predikterade värdet för varje nod genom att 

j 

applicera skiktfunktionen. Denna funktion kan exempelvis vara en logistisk funktion enligt: 

z 

j 

1 

= 

1 + e 

När värden är beräknade för alla noder så går man analogt till väga för att beräkna värden för 

(alla) output(s), dvs man viktar en gång till och beräknar återigen via en aktiveringsfunktion 

nämligen outputfunktionen. Därmed är output, som vi kan kalla för Y, relaterad till inputen via 

följande uttryck 11: 

där 

− v 

⎡⎛ 

⎛ ⎞ ⎞⎤ 

y = Φ ⎢⎜ 

⎟ 

o ⎜∑ 

w' 

j Φ h ⎜∑ 

wij 

xi 

⎟ + w'o 

⎟⎥ 

⎢⎣ 

⎝ j ⎝ i ⎠ ⎠⎥⎦ 

Φ o 

är aktivationsfunktionen vid output, som vid tidsserieanalys oftast 

är en identitetslänk, och 

j 

Φ h 

aktivationsfunktionen vid mellanskiktet. 

11 Chatfield, C. (2003). The analysis of Time Series, an introduction. 6 th ed. Chapman & Hall/CRC. p 232. 

10



I sin studie har Hoffman ansatt två modeller, en modell med ett linjärt beroende mellan 

input och output och en med ett icke-linjärt beroende. I bägge fallen använde han sig av 

tillgängligt data som input i modellerna och saknade (framtida) data som output. Datat till 

studien är inhämtat från två städer i södra Polen: Zabrze (1994 - 1997), samt Kedzierzyn-Kozle 

(1994 - 1999) varav Zabrze har uppvisat högre koncentrationer av NO och NO2. 

Resultaten av studien visar på flera intressanta aspekter: 

i. För det första så var den icke-linjära modellens precision inte distinkt bättre än 

den linjära modellens, och Hoffman drar slutsatsen att ”den linjära modellen 

förefaller fördelaktig med anledning av dess enkelhet och korta beräkningstid”. 12 

ii. För det andra så tyder studien på att predikteringen av NOx har bättre precision 

i Zarbze än i Kedzierzyn-Kozle, dvs. i den mer förorenade staden. 

iii. För det tredje så visar det sig att precisionen i modelleringen av NOx sjunker 

relativt fort vid stigande värden på lookahead. Ett ”bra” precisionsspann 

definierades som tidsspannet där korrelationskoefficienten var > 0,8: ett spann 

som ofta inte sträckte sig över mer än två tidspunkter för en ANN modell. 

iv. Slutligen pekar studien i en enkel jämförelse på att två andra betydligt simplare 

metoder, nämligen last-value och linjär interpolation gav minst lika bra 

precision om inte bättre. 

12 Hoffman, S. (2006). Short-Time Forecasting of Atmospheric NOx Concentration by Neural Networks. Environmental 

Engineering Science, Vol.23, No. 4, p. 608 

11



2. Datamaterialet 

2.1. Presentation 

I Umeå mäts och sammanställs värden av NO2 samt PM10 i luften med hjälp av mätutrustning som 

samlar in timmedelvärden för respektive variabel. Denna mätutrustning finns placerad på för 

ändamålet strategiska positioner i Umeå med avseende på förväntade värden på respektive variabel, 

där mätvärden inhämtade från Västra Esplanaden i centrala Umeå under 2006, 2007 och 2008 fått 

utgöra det data som använts i denna uppsats. Utifrån de uppmätta timmedelvärdena bildas 

dygnsmedelvärden där minst 21 av de 24 timmedelvärdena måste uppmätts korrekt för att 

dygnsmedelvärdet skall godkännas. Även årsmedelvärden sammanställs utifrån timmedelvärdena för 

bägge variablerna. För NO2 beräknas även 98:e percentilen för tim- och dygnsmedelvärdet medan man 

för PM10 endast beräknar 90:e percentilen för dygnsmedelvärdet. Det bör också nämnas att antalet 

timmar under ett vanligt år är 8760, men eftersom 2008 var ett skottår så uppgår det totala antalet 

timmar under tidsperioden till 8760 + 8760 + 8784 = 26304. 

2.2. Mätning av NO2 

Data registreras av mätaren i ppb och skall sedan omvandlas till µg/m 3. Detta görs via en multiplikator, 

K, som för 2006 var 1,91*10 3 samt för 2007 och 2008 var 1,92*10 3 . Dessa olika värden på K anses 

korrigera för kalibreringsförändringar och därmed vara direkt jämförbara. 

2.3. Mätning av PM10 

Data som mätinstrumentet samlar in underskattar partikelhalterna jämfört med EU:s referensmetod 

varför det korrigeras uppåt med en multiplikator som för 2006 och 2007 var 1,3 men för 2008 var 1,2. 

Dessa olika värden anses korrigera för kalibreringsförändringar och därmed vara direkt jämförbara. 

2.4. Tidigare redovisning av data 

Samhällsbyggnadskontoret miljö- och hälsoskydd i Umeå Kommun sammanställer årligen 

mätresultaten under året i en rapport under rubriken ”Luften i Umeå”. I denna rapport nämner man 

relevanta lagar och förordningar och ger en fullgod bakgrundsbild till varför och hur man genomfört 

12



mätningarna. Dessa jämförs sedan mot de lagstadgade miljökvalitétsnormerna för utomhusluft i 

termer av timmedelvärden, dygnsmedelvärden samt årsmedelvärden med avseende på 

gränsöverskridningsfrekvens. Man skriver exempelvis om NO2: 

Samt angående PM10: 

”Till skydd för människors hälsa får kvävedioxid efter den 31 december 2005 inte 

förekomma i utomhusluft med mer än: 

1. i genomsnitt 90 mikrogram per kubikmeter (µg/m 3 ) luft under en timme. 

2. i genomsnitt 60 mikrogram per kubikmeter (µg/m 3) luft under ett dygn. 

3. i genomsnitt 40 mikrogram per kubikmeter (µg/m 3 ) luft under ett 

kalenderår. 

Timmedelvärdet får överskridas 175 gånger per år (98-percentil) förutsatt att 

föroreningsnivån aldrig överstiger 200 mikrogram per kubikmeter luft under en timme mer 

än 18 gånger per kalenderår (99,8-percentil). 

Dygnsmedelvärdet får överskridas 7 gånger per kalenderår (98-percentil).” 13 

”Till skydd för människors hälsa får partiklar efter den 31 december 2004 inte förekomma i 

utomhusluft mer än: 

1. i genomsnitt 50 mikrogram per kubikmeter luft under ett dygn. 

2. i genomsnitt 40 mikrogram per kubikmeter luft under ett kalenderår. 

Det värde som anges i första stycket 1 får överskridas 35 gånger per kalenderår (90- 

precentil).” 14 

Därmed är det alltså gränsöverskridningsfrekvensen som är det centrala i undersökningen, alltså hur 

många timmar under året som varit direkt farliga för människors hälsa samt i förlängningen av detta 

hur många dygn som varit det och därefter klargöra om kalenderåret i sin helhet utgjort ett hot mot 

människors hälsa p.g.a. förorenad utomhusluft. Med avseende på det databortfall som uppstått under 

året står följande att läsa i exempelvis 2008 års rapport: 

13 Samhällsbyggnadskontoret Miljö – och hälsoskydd, (2008-02). Luften i Umeå – Sammanställning av mätningar vid Västra 

Esplanaden 2008-01-01 – 2008-12-31. Umeå Kommun 

14 Ibid. 

13



”Visst databortfall finns under korta perioder vid exempelvis service och underhåll av 

utrustningen. Datafångsten för NO2 mätningarna har varit 96-97 % vilket är mycket bra och 

uppfyller de krav på 90 % datafångst som Naturvårdsverket ställer.” 

Därefter det väsentliga: 

”Den stora datafångsten medför att redovisade uppgifter rörande luftföroreningssituationen 

bedöms återspegla den faktiska situationen med avseende på luftföroreningar på Västra 

Esplanaden på ett tillfredsställande sätt.” 

Med detta antagande nöjer man sig och går således inte vidare med någon bortfallsanalys. Detta 

resonemang anser jag vara diskutabelt på grund av att det man har till uppgift att göra – mäta 

gränsöverskridningsfrekvensen – inte stämmer direkt överens med det man anser att de redovisade 

uppgifterna återspeglar: nämligen ”den faktiska situationen med avseende på luftföroreningar på Västra 

Esplanaden”. Distinktionen mellan dessa två ändamål och de olika arbetssätt och analys dem påfordrar 

återkommer jag till. 

2.5. Datafångst 15 

Med utgångspunkt i Rubin’s antaganden om saknade observationer, MCAR och MAR, så har jag valt att 

titta på ett antal numeriska beskrivningar av datat vid givna tim-, dygns- och månadsvärden för att 

undersöka huruvida bortfallsfrekvensen kan vara relaterad till specifika tidspunkter som i sin tur är 

relaterade till värden på NO2 respektive PM10. 

2.5.1. NO2 

Till att börja med så kan det konstateras att datafångsten för NO2 har varit exceptionellt bra 

under dessa tre år, sammanlagt hela 97,6 %. Tittar vi sedan på de tre olika datamatriserna så 

ser vi att: 

i. Skillnaderna i datafångst är väldigt små med avseende på dygnets tjugofyra 

timmar, där den 12:e timmen har flest bortfall: 1064 registrerade mätningar mot 

exempelvis 1072 registrerade mätningar för den 22:a timmen. 

15 Läsaren hänvisas till Bilaga 1a vad gäller samanställningar och grafer för NO2, 

samt Bilaga 1b vad gäller sammanställningar och grafer för PM10. 

14



ii. Skillnaderna i datafångst är väldigt små även med avseende på veckans sju dygn 

där torsdagen har flest bortfall: 3620 registrerade mätningar mot exempelvis 3695 

registrerade mätningar för söndagen. 

iii. Skillnaderna är något större med avseende på årets tolv månader där augusti har 

flest bortfall: 1916 registrerade mätningar mot exempelvis 2232 registrerade 

mätningar för januari och maj. 

Dessa resultat anser jag ger en fingervisning om att bortfallen tycks komma ”i klump” och bildar 

på så sätt ”glapp” i tidsserien där värden saknas, snarare än att de inträffar vid för 

undersökningen relevanta tidpunkter såsom under en viss tid på dygnet eller under en viss del 

av året. Detta då skillnaden i bortfall för olika timmar på dygnet förefaller vara lägst, följt av 

skillnaden för olika dagar i veckan och störst är skillnaden för årets olika månader. Om det hade 

varit så att bortfallen uppstått ett i taget så borde inte en sådan trend kunna uppfattas. 

Tittar vi sedan på medelvärden vid olika faktornivåer ges följande: 

Av dessa datamatriser så framgår det tydligt att dygnsmedelvärdena för NO2, helt enligt 

förväntningarna, är lägre för lördagar och söndagar än för de fem arbetsdagarna. Det framgår 

också att timmedelvärdena är något högre för de timmar på dygnet som man förväntar sig att 

den mänskliga aktiviteten skall vara relativt hög dvs. på morgonen ungefär mellan 8-10 och på 

kvällen ungefär mellan 16-18. Vad gäller skillnader mellan årets tolv månader så kan man se att 

medelvärdena för semestermånaderna, juni, juli och augusti, är lägre än medelvärdena för årets 

övriga nio månader vilket är i enighet med de trendindikationer som mätningarna påvisat 

hittills. 

Men inget av detta indikerar en relation mellan saknade observationer och värdet på NO2. 

Som ni minns så var bortfallet som störst för augusti månad, men den månaden utmärker sig 

varken med avseende på dess centraltendens eller på dess extremvärden och spridning. Av 

veckans sju dagar så var bortfallet störst för torsdagen, som också är det dygn som i och för sig 

har högst medelvärde men som knappast är tillräckligt högt i förhållande till övriga 

dygnsmedelvärden för att meritera vidare analys och som heller inte har vare sig störst 

extremvärden eller spridning. Ser vi slutligen till dygnets tjugofyra timmar så var bortfallet 

störst under den 12:e (och 13:e) timmen, timmar som inte heller utmärker sig på något relevant 

sätt. 

15



2.5.2. PM10 

För PM10 ser datafångsten ut som följande: 

Även för PM10 har datafångsten varit bra: sammanlagt 94,5 % under åren 2006, 2007 och 

2008. Tittar vi sedan på datamatriserna så ser vi att: 

i. Skillnaderna i datafångst är väldigt små med avseende på dygnets tjugofyra 

timmar även för PM10, där den 10:e timmen har flest bortfall: 1029 

registrerade mätningar mot exempelvis 1043 registrerade mätningar för den 

17:e timmen. 

ii. Skillnaderna i datafångst också är väldigt små med avseende på veckans sju 

dagar, där måndagen har flest bortfall: 3501 registrerade mätningar mot 

exempelvis 3602 registrerade mätningar för fredagen. 

iii. Skillnaderna i datafångst, precis som för NO2, är lite större med avseende på 

årets tolv månader, där februari har flest bortfall med 1905 registrerade 

mätningar mot exempelvis 2228 registrerade mätningar i juli. 

Tolkningen av dessa bortfallsfrekvenser blir analog med den föregående, nämligen att bortfallen 

”kommer i klump” och på så sätt drabbar de för studien relevanta tidpunkterna tämligen lika. 

Trots liknande bortfallsfrekvens som NO2 så kan fortfarande en jämförelse en granskning 

av medelvärden och spridning vid olika faktornivåer vara intresse: (se: Bilaga 2 b.) 

Det framgår att timmedelvärdena för PM10 är högst de timmar på dygnet som man kan 

förvänta sig att det är många fordon på vägarna. Ser vi sedan till dygnsmedelvärden så finner vi 

återigen att lördag och söndag har lägre medelvärden än övriga veckodagar, vilket säkerligen 

beror på en större mängd trafik under arbetsdagarna. Jämför vi dessa iakttagelser med 

bortfallsfrekvenserna för PM10 så meriterar det knappast någon vidare analys av relationen 

mellan värden på PM10 och sannolikheten för saknade observationer. 

16

3. Metoder 



3.1. Listvis uteslutning 

Den absolut vanligaste (men därmed inte sagt bästa!) metoden för att handskas med saknade 

observationer är listvis uteslutningsmetoden. Den innebär att samtliga observationer i ett dataset som 

saknar data på någon variabel utesluts ur undersökningen, varpå undersökaren i bästa fall antar att 

det som återstår av stickprovet är ett obundet slumpmässigt urval av det ursprungliga stickprovet som 

åtminstone implicerar att han förstår innebörden av vad han gör, eller i värsta fall antar att de 

uteslutna observationerna ”ända inte spelar någon roll” utan närmare analys, vilket tyvärr är desto 

vanligare. 

Nåväl, vad medför då denna metod? Allison (2001) pekar på två uppenbara fördelar 16 : 

• Den kan användas vid all statistisk analys, oavsett om man arbetar med en strukturell 

ekvationsmodell i AMOS eller en korstabell i Excel. 

• Inga specifika beräkningsmetoder fordras, man kan helt enkelt gå vidare som om 

ingenting hänt. 

Förutom dess parsimoniska egenskaper så innehar listvis uteslutningsmetoden också en hel del goda 

egenskaper ur statistisk synpunkt under förutsättningen att data är MCAR: 

o Om parameterskattningarna i det ursprungliga stickprovet var unbiased så kommer 

dem även att vara det för reducerade stickprovet. 

o Standardavvikelser och teststatistikor som erhålls av det reducerade stickprovet 

kommer fortfarande att vara lika korrekta. Här bör man dock notera att det generellt 

gäller att ju fler observationer man har i ett givet dataset desto lägre tenderar 

standardavvikelserna skattas, detta då man helt enkelt har mer information att tillgå 

och därför kan göra säkrare skattningar. 

Till nackdelarna hör bland annat det som nämns ovan, nämligen att man ”kastar bort” information som 

annars kan vara användbar i undersökningen. Detta är i synnerhet ett allvarligt problem om man 

16 Allison, P.D. (2001). Missing Data. Sage University Papers Series on Quantative Applications in the Social Sciences, 07- 

136. Thousand Oaks, CA: Sage. p 6. 

17



jobbat hårt och betalat mycket för att erhålla sitt datamaterial, då kan det vara svårt att försvara att 

man kastar en påtaglig del av det arbetet i papperskorgen. 

Vidare så innebär överträdelser av MCAR antgandet i sitt dataset att listvis 

uteslutningsmetoden kan orsaka icke-väntevärdesriktiga estimatorer. Om det finns en 

beroendestruktur bland förklaringsvariabler och beroendevariabler i modellen som innebär att 

sannolikheten för att observera ett värde på en beroendevariabel är beroende av värdet på en 

förklaringsvariabel så kommer listvis uteslutningsmetoden att orsaka icke-väntevärdesriktiga 

estimatorer. Detsamma gäller exempelvis om en sådan beroendestruktur föreligger i en 

regressionsmodell som innebär att regressionskoefficienterna i modellen inte kan antas vara lika för 

alla individer i stickprovet. 

Med detta sagt så förblir ändå listvis uteslutningsmetoden den metod som jag hädanefter 

kommer att jämföra övriga metoder med av den enkla anledningen att denna metod är den minst 

komplicerade, mest lättförstådda, och mest använda av alla metoder samtidigt som den under vissa 

förutsättningar har väldigt goda statistiska egenskaper. Därmed ger den så att säga högst 

marginalavkastning, dvs man får mycket för väldigt lite i termer av arbetsbörda och statistisk 

ackuratess. Vad man dock måste ha i tanken hela tiden är att det inte bara kan vara en viss metods 

generella egenskaper som avgör om den är bäst, utan dess egenskaper utifrån det specifika problem 

som varje undersökning utgör där mätning av gränsöverskridningsfrekvens definitivt är ett sådant 

specifikt problem. 

3.2. Medelvärdessubstitution 

En annan ganska vanlig metod för att ta hand om saknade observationer har varit 

medelvärdessubstitution. Det går helt enkelt till så att man beräknar medelvärdet på den variabel som 

det saknas observationer på utifrån det data man har tillgängligt och imputerar dessa skattningar i sin 

datamatris och genomför sedan inferens som om man hade ett fullständigt stickprov. Denna metod 

delar fördelen med listvis uteslutning att vara väldigt enkel att både genomföra och intuitivt förstå och 

tolka. Andra egenskaper hos medelvärdessubstitution är: 

o Metoden är alltid konservativ 17 i den meningen att de imputerade värdena inte kommer 

att medföra speciellt stora förändringar av medelvärdet för fördelningen i stort vilket 

kan vara bra om man är väldigt osäker på området. 

17 Tabachnik, B.G, Fidell, L.S. (2007) Using Multivariate Statistics 5:th ed. Pearson Education, Inc. p.67. 

18



o Variansen hos den imputerade variabeln kommer antagligen att underskattas - ganska 

kraftigt - då medelvärdena rimligtvis kommer att ligga närmre fördelningens faktiska 

centraltendens än de värden som dem ersätter. Detta föranleder givetvis att 

teststatistikorna inte längre är tillförlitliga, och man har problem med inferensen. 

Givetvis kan man genomföra denna metod något mindre primitivt genom att exempelvis beräkna 

medelvärden vid givna faktornivåer under förutsättningen att sådana finns att tillgå i sin modell, men 

inget av detta kommer att kunna lösa de ovanstående problemen med medelvärdessubstitution, utan 

på sin höjd minimera dem. Allison (2001) påpekar också problemet med den icke-väntevärdesriktiga 

variansskattningen med denna metod och drar slutsatsen att den ”generellt bör undvikas.” 18 

3.3. Regression med konvergerande prediktionsvärden 

Genom att ansätta en regressionsmodell med den variabel som saknar observationer som 

beroendevariabel, Y, och de övriga variablerna i datasetet som förklaringsvariabler, Xi, så kan de 

saknade observationerna på beroendevariabeln skattas. På så sätt tar man tillvara på den information 

om beroendevariabeln som eventuellt finns hos de övriga variablerna i datasetet. 

Tabachnik och Fidell (2007) 19 påpekar att det är lämpligast att fortsätta med metoden tills 

man fått konvergens i prediktionsvärdena för de saknade observationerna. Det innebär att de 

predikterade värdena från den första beräkningsomgången förs in i datasetet varpå statistikern 

predikterar nya värden för de saknade observationerna. Detta pågår tills konvergens uppnåtts, dvs tills 

skillnaderna mellan de värden som införs för prediktering och de resulterande prediktionsvärdena är 

tillräckligt små för ändamålet. 

Vilka konsekvenser medför då denna metod? 

o Den intuitivt mest uppenbara effekten är att man kommer att få predikterade 

värden som kommer att passa in för bra i sitt dataset i förhållande till de värden 

som dem ersätter med avseende på de övriga variablerna i datasetet eftersom dessa 

utgjort den informationsbas som renderat i de framtagna skattningarna. Detta 

kommer naturligtvis att påverka modellen som helhet och sambanden i modellen 

kommer att överskattas. 



19 Tabachnik, B.G, Fidell, L.S. (2007) Using Multivariate Statistics 5:th ed. Pearson Education, Inc. p.67. 

19



o En annan högst trolig effekt är att de imputerade värdena, precis som vid 

medelvärdessubstitution, kommer att vara ”för snälla” dvs avvika för lite än de 

borde från dess centraltendens eftersom de skattats som en perfekt linjärfunktion 

av förklaringsvariablerna. Detta medför en underskattning av variansen och därmed 

en överskattning av teststatistikorna. 

o Slutligen kräver denna metod att det finns variabler i datasetet som innehåller 

tillräckligt bra information om den variabel som det saknas information på för att 

man skall få tillförlitliga resultat. 

3.4. Box-Jenkin’s modell med prediktion av saknade observationer 

I den numera klassiska boken från 1970 av George Edward Pelham Box och Gwilym Meirion Jenkins, 

Time series analysis: Forecasting and control så föds modellbyggnadsmetodologin ARIMA 

(Autoregressive Integrated Moving Average) med tillhörande förhållningssätt till tidsserieanalys. För en 

utförligare förklaring av själva modellmetodologin så rekommenderar jag kap. 3 - 5 i Chatfield (2003), 

dock antas läsaren hädanefter åtminstone vara tillräckligt insatt i ämnet för kommande resonemang i 

uppsatsen. 

I en ansatt ARIMA modell så modellerar man värdet man ser just nu med hjälp av den 

information som finns i variabelns förflutna värden, exakt hur denna modell ser ut kommer givetvis att 

vara fullständigt bundet av den beroendestruktur som datat uppvisar. Vad innebär då detta för 

problemet med saknade observationer? 

Då beroendestrukturen i datat är modellerat med hjälp av en Box-Jenkin’s modell så är 

resonemanget analogt när det gäller att modellera framtida värden, man använder alltså all den 

information som finns i tidigare observationer av tidsserien för att prediktera värdet vid framtida 

tidpunkter. Ett möjligt tillvägagångssätt för att skatta saknade observationer blir då att använda sig av 

all information som finns i tidsserien fram till den första saknade observationen, och därefter 

prediktera S tidsenheter frammåt och således erhålla en skattning för dem saknade observationerna 

enligt följande uttryck under exempelvis en ansatt AR(1): 

X T + S = αX T + S −1 

+ εT 

+ S 

En sådanhär metod stöter dock på allvarliga problem när bortfallet bildar glapp i tidsserien, som det 

gör i detta fall, eftersom man då måste använda sig av predikterade värden som om de vore 

20



observerade. Detta medför givetvis allvarliga problem, åtminstone på det teoretiska planet, men jag 

återkommer till detta senare. 

3.5. EM-algoritm 

EM-algoritmen är en generell metod för att ta fram maximum likelihood (ML) estimat när delar av 

datat saknas, men kommer i denna uppsats att behandlas under antagande om multivariat 

normalfördelade variabler i modellen vilket get ett specialfall av EM-algoritmen. Även om detta 

antagande är ett ganska starkt antagande så har det visat sig att om någon variabel (som saknar 

observationer, annars kan den vara fördelad hur som helst i princip) i datasetet inte är normalfördelad 

så har ändå maximum-likelihood skattningar under detta antagande ofta väldigt goda egenskaper, 

speciellt om datat kan antas vara MCAR. 20 

Algoritmen består i detta specialfall av två olika steg: 

1. Expectation 

Man börjar med att anta startvärden på de parametrar man skall estimera, dvs 

medelvärdet och kovariansmatrisen (som består av korrelationer och 

standardavvikelser). Dessa startvärden kan exempelvis fås genom att tillämpa listvis 

uteslutningsmetoden och därefter genomföra konventionella ML-skattningar på det 

reducerade stickprovet. Sedan beräknas regressionskoefficienter baserade på dessa 

startvärden för samtliga variabler i datasetet för att således erhålla skattningar av de 

saknade värdena och därmed, som Allison (2003) påpekar, har detta steg i algoritmen 

under antagandet om multivariat normalfördelade variabler i allt väsentligt reducerats 

till en regressionsimputationsprocess. 21 Lägg dock märke till att man här tar till vara på 

all information som finns i alla variabler i datasetet utan att behöva dela in dem i 

förklarings- respektive responsvariabler. 



21 Ibid, p 20. 

21



2. Maximization 

När alla saknade värden har skattats och imputerats i datasetet i expectation-steget så 

består maximization-steget av att beräkna nya ML-värden för medelvärdet och 

kovariansmatrisen. Här är det lämpligt att vara på sin vakt 22 då konventionella 

imputationsprocesser i mjukvara ofta underestimerar variansen i modellen genom att 

inte korrigera de imputerade värdena med de residualvarianser- och kovarianser som 

erhålls av regressionsekvationen i det föregående expectation-steget. 

När vi beräknat nya medelvärden och kovariansmatriser så återgår man till expectation-steget och 

skattar nya värden för de saknade observationerna med hjälp av de nya parametervärdena, för att 

därefter återigen beräkna parametrarna på nytt. Dessa två steg upprepas till dess att skattningarna 

konvergerat. 

3.6. Multipel Imputation (MI) 

Som titeln antyder så innebär denna imputationsmetod att man återskapar flera uppsättningar dataset 

med skattade värden för de saknade observationern. Men för att förstå hur MI fungerar, och 

framförallt varför det fungerar, så ska jag snabbt nämna de några av de svårigheter som statistikern 

står inför när data skall imputeras: 

o För det första så vill man att metoden skall fungera för alla typer av data som finns i 

datasetet, och att de estimat som metoden genererar uppvisar goda egenskaper. 

o Vidare så vill man att den beräkningstekniska delen av metoden skall vara så enkel 

som möjligt för att underlätta tolkningen av skattningarna som tas fram. 

o Framförallt så vill man att den imputationsmetod man använder sig av återskapar 

de faktiska observationerna som saknas på ett så korrekt sätt som möjligt med 

avseende på variabelns sanna variabilitet och därefter genererar 

parameterskattningar som tar i beaktande att de imputerade värdena är baserade 

sample estimat av parametrar och inte sanna parametrar. Därmed identifieras 

svårigheten att ta i beaktande följande faktum: 



22



att de imputerade värdena inte är riktiga värden och därför inte bör 

betraktas som sådana, samt att de erhållna parameterskattningarna 

som imputationsvärdena baseras på är sampling estimat och inte 

estimat av de sanna parametrarna. 

En potentiellt pinsam situation kan uppstå när MI används, nämligen att olika undersökningar får fram 

olika värden trots att man använder exakt samma dataunderlag. Det kan låta ovetenskapligt, men det 

är faktiskt så att det är just detta faktum som är en av de mest briljanta delarna i denna metod. 

Anledningen till att MI alltid genererar olika värden varje gång är att slumpmässig variation medvetet 

införs i imputationsprocessen för att på så sätt gå ifrån en deterministisk imputationsmetod till förmån 

för en slumpmässig imputationsmetod. Detta ifrångående tar i beaktande att de imputerade värdena 

inte är sanna värden, ett faktum som för deterministiska imputationsmetoder ofrånkomligen 

resulterar underskattningar av variansen/kovariansen hos variablerna i fråga. Som jag nämnde 

tidigare så kan detta problem hanteras i en EM-algoritm genom att residualvarianserna från 

regressionsekvationen används för att korrigera dem konventionella beräkningsformlerna, varpå 

Allison (2003) anser att ett fullgott alternativ är att göra en slumpmässig dragning från 

residualfördelningen från varje variabel som skall imputeras och sedan addera dessa slumpmässiga 

dragningar till de imputerade värdena. Anta exempelvis ett dataset med två variabler, X och Y, där 

observationer på X saknas. Då beräknas det slumpmässiga imputationsvärdet enligt: 23 

xi xi 

σ x yψ 

i 

2 

~ ^ 

= + , 

2 

Där σ är variabelns standardavvikelse, ψ i är slumpmässiga dragningar från residualfördelningen 

för X, xi ^ 

är det predikterade av X från regressionen av X på Y, x i 

~ 

är det modifierade imputerade 

värdet som går in i datasetet. Detta hanteringssätt förekommer i MI och möjliggör användandet av 

konvetionella formler för att beräkna varianser och kovarianser. Därmed kan slumpmässig imputation 

eliminera den bias som deterministisk imputation orsakar, men problem kvarstår. Då imputerade 

värden används som om dem vore observerade värden, oavsett om dem är slumpmässiga eller 

deterministiska, så uppkommer problemet med generellt ”för bra” imputationsvärden 24 , förmodligen 





23



som ett resultat av att dem skattats som en linjärkombination av de andra variablerna i datasetet. 

Detta åtgärdas i MI genom att man återskapar flera uppsättningar dataset med imputerade värden som 

vart och ett kommer att ha unika skattningar tack vare att den deterministiska imputationsmetoden 

övergetts till förmån för den slumpmässiga genom att göra dragningar ur variabelns 

residualfördelning. Dessa uppsättningar poolas sedan ihop för att vikta upp standardavvikelsen hos 

variabeln i fråga och man erhåller en betydligt mindre biased skattning enligt: 25 

Där 

~ 1 m ^ 

X = ∑ X i 

m i= 

1 

~ 

X är den slutgiltiga skattningen för imputationen, samt: 

~ 

⎛ 1 ⎞ 

T = U + ⎜1+ 

⎟B ⎝ m ⎠ 

Där T är den totala estimerade variansen medan B och 

~ 

U utgör mellangrupps- respektive genomsnitts- 

inomgruppsvariansen hos imputationsgrupperna beräknade enligt: 

1 

B = 

m −1 

~ 1 m 

= ∑ 

m i= 

1 

U 

m 

∑ 

i= 

1 

U 

i 

⎛ 

⎜ X 

⎝ 

^ 

i 

~ ⎞⎛ 

− X ⎟⎜ 

X 

⎠⎝ 

^ 

i 

~ ' 

⎞ 

− X ⎟ 

⎠ 

Notationer: 

m : antal återskapade dataset 

m.h.a. multipel imputation 

X = (X1, … , Xk) ’ : parametervektor 

med k antal element att estimera 

^ ^ ^ 

X i = ( X 1 , … , X k i)’ : estimerade 

parametervektorer m.h.a. 

det i:te återskapade datasetet 

Ui : estimerad kovariansmatris av 

25 SPSS Statistics 17.0 (2008-12-01) SPSS Multiple Imputation Pooling Algorithms: Combining Results After Multiple 

Imputation vidare refererat till: 

Li, K.H. Raghunathan, T.E. Rubin, D.B. (1991) Large-Sample Significance Levels from Multiply Imputed Data Using Moment- 

Based Statistics and an F Reference Distribution. Journal of the American Statistical Association. 86, 1065-1073. samt: 

Schafer, J.L. (1997) Analysis of Incomplete Multivariate Data. London: Chapman and Hall. 

24 

^ 

X i



Problem kvarstår dock fortfarande, för när xi ^ 

skall skattas så betraktas de parameterskattningar som 

används i regressionsekvationen som om de vore sanna parametrar, men eftersom dem är sample 

estimat av parametrar så är det inte lämpligt att använda sig av samma värden på dessa parametrar för 

varje imputationsskattning, dem bör variera. Ett sätt att tillåta en slumpmässig variation i 

parameterskattningarna är att göra slumpmässiga dragningar ur vad som kallas the Bayesian posterior 

distribution of parameters. 26 Tyvärr är detta lättare sagt än gjort, och fordrar specialiserad mjukvara 

som exempelvis beräknar Markov chain Monte Carlo (MCMC)-algoritmer, något som lyckligtvis finns i 

SPSS 17.0 som val av imputationsmetod under ”Fully Conditional Specification” (FCS). 

Dessutom konstaterar Allison (2003) 27 att så länge stickprovet är stort och proportionen 

saknade observationer är litet så kommer MI utan detta extra steg vanligtvis ge resultat som är väldigt 

nära de resultat man annars fått, speciellt om datat kan antas vara MCAR. 

Vidare kan nämnas att medan jag anser att det bästa sättet att genomföra multipel 

imputation på för just det problem som denna uppsats avhandlar är det sätt som presenterats ovan, så 

finns det andra tillvägagångssätt. Ett klassiskt exempel är den icke-parametriska så kallade ”Hot-Deck” 

metoden, frekvent använd av U.S. Census Bureau där man bildar korstabeller av variabler som är 

relaterade till variabeln med saknade observationer och helt enkelt väljer ut ett ”donationsvärde” i 

denna korstabell för varje saknat värde. För att randomisera denna urvalsprocess bland de möjliga 

donationsvärdena, på ett sätt som tar all naturlig variation i variabeln i beaktande, så myntade Donald 

P. Rubin en metod som han uppkallade the approximate Bayesian Bootstrap. 28 Denna metod kom sedan 

att kompletteras av R. J. A. Little med en partiell-parametrisk metod som kallas Predictive Mean 

Matching som för övrigt finns att tillgå i SPSS 17.0. För en utförligare förklaring om hur ”Hot-Deck” 

metoden används så hänvisas läsaren till relevanta kapitel Allison (2003), men den är alltså inte 

aktuell denna gång. 

26 Iversen, Gudmund R. (1976). Bayesian Statistical Inference. Sage University Papers Series on Quantative Applications in 

the Social Sciences, 07-001. Beverly Hills and London: Sage Pubns. 


136. Thousand Oaks, CA: Sage. p 31-32. 

28 Ibid, p 58. 

25



3.7. Val av metod 

Av dessa olika metoder, vilken lämpar sig bäst? 

För att svara på den frågan så måste vi här definiera kärnan i vad som skall åstadkommas 

med den metod som slutligen väljs. Jag nämnde i avsnitt 2.3 Tidigare redovisning av data att jag anser 

att det är en väsentlig skillnad i de två syftena: 

1. Mäta gränsöverskridningsfrekvensen 

2. Spegla den faktiska situationen med avseende på luftföroreningar 

Jag skulle nu vilja återkoppla till detta. För att på ett korrekt sätt mäta gränsöverskridningsfrekvensen 

så menar jag på att det inte räcker att de saknade observationerna styrs av en slumpmässig 

bortfallsmekanism för att avfärda vidare bortfallsanalys, eftersom vad man har för avsikt att mäta inte 

är den stokastiska processens centraltendens utan den frekvens med vilken den avviker från denna 

med avseende på givna distanser, gränsvärden. 

Exempel: 

Låt oss säga att datafångsten ett visst år uppgår till 95% och att bortfallet kan antas vara 

MCAR. Detta ger att av årets 8760 timmar så saknar man data på totalt 438 timmar. Antag 

vidare för enkelhetens skull att sannolikheten för att ett timmedelvärde skall överskrida ett 

visst gränsvärde är konstant över alla timmar på året, och att denna sannolikhet är 0,015. 

Detta ger att det i genomsnitt sker ett gränsöverskridande var 66:e timme, varvid det 

förväntade antalet gränsöverskridningar på ett år blir 8760 * 0,015 = 131,4. Men eftersom man 

endast lyckats fånga upp 8322 timmar så blir det skattade antalet gränsöverskridningar 

endast 8322 * 0,015 = 124,83. För att få fram det korrekta antalet gränsöverskridningar under 

ett år så bör man addera produkten av antalet saknade timmedelvärden och sannolikheten för 

att en timme skall överskrida gränsvärdet till det förväntade antalet gränsöverskridningar som 

det uppfångade datat genererat enligt: 

(8322 * 0,015) + (438*0,015) = 124,83 + 6,57 = 131,4 

Ty om inte detta görs, om bortfallsanalys negligeras, så underskattas 

gränsöverskridningsfrekvensen ofrånkomligt. 

26



Exemplet ovan är givetvis en förenkling av verkligheten, i själva verket är inte sannolikheten för att ett 

timmedelvärde skall överskrida gränsvärdet varken känd eller konstant för alla timmar under året. 

Men det understryker den fundamentala skillnaden mellan att undersöka en centraltendens och en 

gränsöverskridningsfrekvens, där det första under antagandet om MCAR mycket väl kan stå sig bra, 

t.o.m. med ett mycket större bortfall än vad som finns i detta dataunderlag, men där det senare måste 

ta hänsyn till allt bortfall för att kunna åstadkomma väntevärdesriktiga skattningar. 

Mot bakgrund av detta resonemang så faller naturligtvis listvis uteslutningsmetoden bort, 

trots dess enkelhet och icke-förstörande egenskaper. Vidare är medelvärdssubstitution inte mycket 

bättre då denna definitivt kommer att resultera i att inga gränsöverskridande värden skattas med 

tanke på medelvärdesnivåerna i datat. En regressionsmodell med konvergerande prediktionsvärden är 

då ett bättre alternativ, men där framkommer det fundamentala problemet att de skattade värdena 

kommer att vara linjärkombinationer av de andra variablerna i modellen och därmed vara oförmögna 

att fånga upp variabelns reella variabilitet och därmed orsaka allehanda problem. Vad gäller Box- 

Jenkin’s modell med prediktion av saknade observationer så kan den metoden möjligtvis prestera bra 

om det är så att observationer saknas en och en, men som jag tidigare beskrivit så tycks 

observationerna i dessa dataset saknas ”i klump”, dvs de bildar glapp i tidsserien. Detta är naturligtvis 

väldigt problematiskt, då den bästa informationen om en tidsenhet antagligen ligger i dem omedelbart 

omkringliggande observationerna. Denna problematik är just vad Palma och Del Pino, samt Hoffman 

undersökte utifrån olika prespektiv, och slutsatsen där blev ju som bekant att man med tillförlitlighet 

sällan kan skatta mer än två tidsenheter framåt på detta sätt och att prediktionsfelet växer snabbt i 

takt med längden på observationsglappet. Man skulle då kunna tänka sig att sätta in de tidigare 

skattade värdena i prediktionsmodellen för att på så sätt kunna tillgodogöra sig den information som 

eventuellt finns i dessa, men problemet är då att vi inte vet något om kvalitén i den informationen då 

man i så fall använder deterministiskt imputerade värden i modellen som om de vore observerade 

värden. Det skulle vidare krävas omfattande modellkontrollering för att kunna dra korrekta slutsatser 

av en sådan inferens. 

Därmed har valet av metod reducerats till ett val mellan multipel imputation eller en EM- 

algoritm, ett val som jag för detta ändamål ser som uppenbart då multipel imputation tar i beaktande 

allt det som EM-algoritmen gör och utöver det, det inneboende faktum att imputerade värden aldrig 

någonsin fullt ut kan motsvara observerade värden och därför innehåller tekniker för att ta hand om 

även detta. 

27



4. Imputationsprocessen 

4.1. Analysen av en tidsserieprocess 29 

Sekvensen av observationer i en tidsserie utvecklas enligt sannolikhetslagar, därav finns det till 

processen {Xt} en simultan fördelningsanalys. Om denna är känd så blir det också möjligt att göra 

uttalanden om sannolika framtida värden på X, och en förutsättning för detta är att ansätta mycket 

restriktiva antaganden för den statistiska strukturen hos den stokastiska tidsserieprocessen. Det finns 

två olika sådana restriktioner som tillämpas, strikt stationaritet samt svag stationaritet varav det 

senare är vad som tillämpas och refereras till i denna uppsats och definieras enligt: 

E 

X 

1. ( ) = µ 

V 

X 

2. ( ) 2 

t 

t 

= σ 

3. ( t t k ) k X X γ = 

cov , + 

Där: t = indexering av tidslag, k = indexering av tidsförskjutning 

Här anger det första kriteriet att medelvärdet måste vara konstant för alla värden på t. Det andra 

kriteriet anger att variansen måste vara konstant för alla värden på t, och det tredje kriteriet till sist 

anger att autokovariansen ej får vara beroende av tidpunkterna själva utan endast av 

tidsförskjutningen mellan två tidspunkter. Vid strikt stationeritet stipuleras även kriterier för att 

moment av högre ordning för varje kombination av variablerna: Xt1, Xt2, Xt3, …. är oberoende av tiden, 

kriterier som för övrigt är explicita för exempelvis normalfördelade processer då dessa som bekant 

definieras fullt ut av sina två första moment, medelvärde och varians. 

Under detta antagande om stationaritet så kommer processen uppvisa följande 

fundamentala eganskaper för att kunna handskas med det faktum att man endast har en realisering av 

processen och därmed ej kan erhålla fler än ett stickprov vid varje tidpunkt: 

o Stickprovsmedelvärdet konvergerar mot processens sanna medelvärde. 

o Variansestimaten konvergerar mot processens sanna varians. 

29 Läsaren hänvisas till Bilaga 2a vad gäller samanställningar och grafer för NO2, 

samt Bilaga 2b vad gäller sammanställningar och grafer för PM10. 

28



o Procecessens längd i mättillfällen, T, som kan ses som T stycken upprepade 

stickprov på samma process. 

Därmed så kommer jag även att modellera den beroendestruktur som finns i datat med avseende på 

tidsförskjutningar förutom de faktorvariabler som finns inbyggda i datasetet: 

• Timma i: i = 1, 2, … 24. 

• Dag j: j = måndag, tisdag, onsdag, … söndag. 

• Månad o: o = januari, februari, mars, … december. 

4.1.1. Modellering av tidsserieberoendet 

En utförlig redogörelse av hur man analyserar och diagnostiserar en tidsserieprocess kan 

inhämtas hos Chatfield (2003), jag kommer dock hädanefter att utgå ifrån att läsaren är bekant 

med de kommande resonemangen. 

4.1.1.1. NO2 

För att avgöra huruvida det är möjligt att arbeta under antaganden om normalitet så började 

jag med att plotta mina observationer i en dotplott och en Q - Q plott. Av dotplotten framgår 

tydligt att variablen är kraftigt skev åt höger och detta återspeglas i Q –Q plotten som även 

indikerar att en logaritmisk transformation av variabeln skulle kunna resultera i en betydligt 

bättre anpassning till normalfördelningen, samtidigt som en sådan transformation är en 

åtgärd som ofta stabiliserar en eventuellt heteroskedastisk varians. Transformationen 

genomfördes och bägge plottarna vittnar nu om att en logaritmisk transformation av 

variabeln NO2 möjliggör ett fortsatt arbete under antagande om normalfördelning (och i 

förlängningen multivariat normalfördelning när vi kommer till imputationsprocessen). 

Nästa steg blev att undersöka tidsserieprocessen och antagandet om 

stationaritet. Detta påbörjades genom att först plotta datat i en tidsserieplot, något som 

visade sig vara lättare sagt än gjort när man har 26304 observationer i datasetet. När det 

kommer till den fina konsten ”eye-ball statistics” i tidsserieplottar så brukar jag alltid dela 

upp tidsserien i säg 8 lika långa segment, och om jag inte kan avgöra var i tidsserien som 

datat hör hemma genom att endast titta på den så brukar jag gå vidare i analysen. Nu anser 

jag dock att detta är genomförbart och lösningen blir då en differentiering, och eftersom vi 

29



har med timmedelvärden att göra så säsongsdifferentierade jag tidsserien med en 

periodicitet på 24 enligt: 

∆ X = X − X t 

24 t t −24 

Där Δ är en differentieringsoperator 

Differentieringen ser ut att ha avlägsnat dygnstrenden och tagit ner processen på en 

stationär nivå, därmed går jag vidare i analysen och genomför ett Dickey-Fuller test av 

enhetsrot 30 som under en förenklad modell, AR(1) genomförs enligt: 

X α X + ε 

= t 

t−1 

Om α = 1 så har vi en s.k. random walk eftersom varians och medelvärde då beror av t. 

∆X = X − X = α X + ε − X 

t t 

t 

* t−1 

t t −1 

X = α −1 

X + ε 

∆ −1 

t ( ) t t 

( α −1 ) = δ 

δ X + ε 

t−1 

t 

H0: δ = 0 enhetsrot, dvs ej stationär 

HA: δ < 0 stationär 

δ 

s⎜ 

⎛δ 

⎟ 

⎞ 

⎝ ⎠ 

= ^ 

Teststatistika: t ~ Dickey-Fuller* 

*Statistikan är ej t-fördelad, utan fördelad efter en specifik fördelning, som brukar refereras som Dickey-Fuller Table. 

Med en parameter i modellen så är tkrit = -1,95. 

Med två parametrar i modellen så är tkrit = -2,89. 

Med tre parametrar i modellen så är tkrit = -3,45. 

^ 

Osv… 

30 Chatfield, C. (2003). The analysis of Time Series, an introduction. 6 th ed. Chapman & Hall/CRC. p 263. 

t 

30



Testet gav tobs = -17,0 vilket innebär att H0 förkastas och därmed anser jag att det inte 

föreligger tillräckliga grunder för att behandla processen som icke-stationär. 

Nästa steg i analysen blev att undersöka processens autokorrelationsfunktion 

(ACF) samt partiella autokorrelationsfunktion (PACF) för att blottlägga den 

beroendestruktur som finns i tidsseriedatat. Det dök upp en tydlig spik i PACF medan 

förloppet i ACF var exponentiellt avtagande vilket är ett skolboksexempel på en AR-process. 

Därmed ansatte jag en AR(1) process utöver den säsongsdifferentiering som redan 

innefattats och plottade därefter ACF och PACF igen, varpå plottarna nu indikerande ett 

långsiktigt beroende i variabeln vid den 24:e laggen. Detta anser jag vara intuitivt 

lättförståeligt då dygnets timmar säkerligen samvarierar mellan dygnen, d.v.s. värdet på NO2 

klockan 12.00 är relaterat till värdet på NO2 klockan 12.00 föregående dygn. Därmed 

ansattes en SARIMA(1,0,0)(0,1,1) 24 modell och ACF samt PACF plottades igen för att 

undersöka huruvida den framtagna modellen förmått modellera bruset i tidsserien. Det 

anges även en teststatistika i SPSS utskriften, Ljung-Box statistikan som är ett test för vitt 

brus - som är detsamma som att säga att modellen är plausibel - men som jag 

erfarenhetsmässigt bedömmer vara mycket instabil och opålitlig och därför i bästa fall kan 

utgöra en minimal del av analysen. 

I och med ansättandet av SARIMA(1,0,0)(0,1,1) 24 modellen så ser ACF och 

PACF riktigt bra ut, och påvisar inte längre några uppenbara tendenser. Dessvärre har Ljung- 

Box statistikan ett ganska högt värde på 244,156 vilket är en indikation på att det finns 

tidsberoende kvar i datat som modellen inte förmått förklara. Tyvärr är det i realiteten så att 

vissa beroenden ibland kan vara mer eller mindre omöjliga att modellera, och desto oftare så 

kostar det mer i form av komplexitet i modellen än det smakar i form av förbättrade 

skattningar att försöka göra det. Men för att undersöka saken närmare så plottade jag upp 

residualerna från modellen och fann att de var väldigt normalfördelade, vilket är bra. Jag 

plottade sedan residualerna mot tiden för att möjligtvis kunna få en indikation på hur jag 

skulle kunna förbättra modellen eller åtminstone göra en bedömning av styrkan i det 

beroende som enligt Ljung-Box statistikan fortfarande föreligger. Tyvärr så fick jag inget 

stadigt att gå på av just detta tillvägagångssätt men den sammantagna informationen från 

residualplottar, ACF och PACF plottar, den höga förklaringsgraden i modellen (stationärt R 2 

= 0,861), samt de signifikanta parameterskattningarna anser jag alla talar för att gå vidare 

med den ansatta modellen. 

31



4.1.1.2. PM10 

Tillvägagångssättet i analysen för PM10 blir givetvis snarlik den för NO2. Även denna gång 

började jag med att plotta observationerna i en dotplott för att avgöra huruvida det är 

möjligt att arbeta under antaganden om normalitet. Av dotplotten framgår tydligt att även 

denna variabel är kraftigt skev åt höger och som också återspeglas i Q –Q plotten som 

återigen indikerar att en logaritmisk transformation av variabeln skulle kunna resultera i en 

betydligt bättre anpassning till normalfördelningen. Transformationen genomfördes och 

även om det inte ser lika bra ut som det gjorde för NO2 så anser jag ändå att avvikelserna 

från normalfördelningen är tillräckligt små för att den logaritmiska transformationen ska 

möjliggöra ett fortsatt arbete under antagande om normalfördelning. 

Nästa steg blev att undersöka tidsserieprocessen och antagandet om 

stationaritet: ”eye-ball statistics” tillämpades och även här ser en differentiering ut att vara 

nödvändig, och eftersom vi fortfarande har med timmedelvärden att göra så 

säsongsdifferentierade jag tidsserien med en periodicitet på 24. Denna differentiering såg ut 

att ha avlägsnat dygnstrenden hyfsat tillfredsställande och tagit ner processen på en 

stationär nivå, därmed gick jag vidare i analysen och genomförde ett Dickey-Fuller test. 

Detta gav ett tobs = -16,0 vilket innebär att H0 förkastas och därmed anser jag 

att det för PM10 inte heller föreligger tillräckliga grunder för att behandla processen som 

icke-stationär. Nästa steg i analysen blev att undersöka processens ACF samt PACF för att 

blottlägga beroendestrukturen. Även här dök det upp tydliga spikar i PACF medan ACF 

uppvisade ett exponentiellt avtagande mönster, och därför ansattes likaså en AR(1) och 

funktionerna plottades igen. Samma mönster som för NO2 dök upp i plottarna även denna 

gång med ett tydligt säsongsberoende varför jag som nästa åtgärd ansatte en 

SARIMA(1,0,0)(0,1,1) 24 och därefter plottade ACF och PACF ännu en gång. Ljung-Box 

statistikan var lägre denna gång: 69,372 men resonemanget blir även denna gång analogt 

som för föregående variabel och jag nöjer mig med den modell som jag kommit fram till. 

4.1.2. Övriga variabler av intresse 

De tidigare nämnda inneboende variablerna i datatsetet är som sagt på vilken timma av dygnets 

tjugofyra som värdet är uppmätt, vilken dag av veckans sju dagar som värdet tillhör, och vilken 

månad av årets tolv månader som värdet tillhör. Dessa olika faktorvariabler med tillhörande 

nivåer kommer givetvis inkluderas i imputationsmodellen då dessa säkerligen innehåller 

32



information om det värde som saknas och följdaktligen ska skattas. Det finns förstås andra 

variabler som också hade varit av intresse, såsom utomhustemperatur och vindstyrka etc, men 

som tyvärr inte uppmätts och som därför måste lämnas därhän. 

4.2. Tillämpning av multipel imputation 31 

Genom tillämpning av multipel imputation enligt ovanstående redogörelse så återskapades 5 

uppsättningar dataset som därefter poolades ihop för att bilda två kompletta dataset, för varje 

variabel. Utifrån utskrifterna ifrån processerna så framgår det att imputeringen av de saknade 

observationerna mycket riktigt har en påverkan vad gäller gränsöverskridningseffekten. 

För att kontrollera konvergensen i ittereringsprocessen med FCS metoden så plottade jag 

upp den mot 200 iterationer – väldigt många – och kan därefter konstatera att standardavvikelsen 

stabiliserade sig efter cirka 60 iterationer medan medelvärdet var stabilt under hela processen för 

bägge variablerna. 

4.3. Nya skattningar av gränsöverskridningsfrekvenser 32 

Det fullständiga datasetet med imputerade värden ska nu användas för att beräkna 

gränsöverskridningsfrekvensen för de respektive variablerna på nytt. 

Det kan även nämnas att jag som rutinåtgärd analyserat det rådata som dataseten bygger 

på och där tagit bort negativa- samt nollvärden och således behandlat dessa som mätfel. Därmed 

beräknas nedanstående dygns- och årsmedelvärden givetvis utifrån det antal observationer som 

inkluderats i repsektive kalkyl: dvs om det endast funnits 22 observerade timmar på ett dygn så har 

dessa summerats och summan dividerats med 22 och inte 24, detsamma gäller för årsmedelvärden. 

31 Läsaren hänvisas till Bilaga 3a vad gäller tillmäpningen för NO2, 

samt Bilaga 3b vad gäller tillämpningen för PM10. 

32 Läsaren hänvisas till Bilaga 4a vad gäller samanställningar för NO2, 

samt Bilaga 4b vad gäller sammanställningar för PM10. 

33



4.3.1. NO2 

Nedan följer beräkningar för gränsöverskridningsfrekvensen med avseende på olika mått: 

4.3.1.1. Timmedelvärde 

• För 2006 anges i kommunens rapport en gränsöverskridningsfrekvens på 286 (dvs 

286 timmar under 2006 översteg MKN på 90 µg/m 3). Jag kontrollerade detta genom 

att befalla SPSS att välja ut alla observationer som översteg90 µg/m 3 i datasetet och 

därefter koda om dem i en dikotom filtreringsvariabel som antog värdet 0 om 

observationen ej överskred 90 µg/m 3 eller antog värdet 1 om den överskred 90 

µg/m 3. Därefter summerade jag alla ettorna och enligt dessa beräkningar på det 

urpsrungliga datasetet så bör den siffran istället vara 296. 

Samma procedur gjordes på det fullständiga datasetet och den justerade 

överskridningsfrekvensen summerades till 298, alltså 2 fler gränsöverskridningar än i 

det ursprungliga datasetet av totalt 22 imputerade värden. 

• För 2007 anges i kommunens rapport en gränsöverskridningsfrekvens på 567. Jag 

kontrollerade detta på samma sätt som tidigare och fann att den siffran bör vara 566. 


överskridningsfrekvensen summerades till 571, alltså 5 fler gränsöverskridningar än i 

det ursprungliga datasetet eller 4 fler enligt kommunrapporten av totalt 392 

imputerade värden. 


kontrollerade detta på samma sätt som tidigare och fann att den siffran bör vara 433, 

alltså överensstämmande siffror. 


överskridningsfrekvensen summerades till 433, alltså genererades inget 

gränsöverskridande timmedelvärde för 2008 genom imputationsprocessen. 

34



Sammantaget bedömer jag att de multipelt imputerade värdenas effekt på 

gränsöverskridningsfrekvensen är realistiska, vilket talar för att metoden är lämplig samt 

utförts på ett korrekt sätt. 

4.3.1.2. Dygnsmedelvärde 

• För 2006 anges i kommunens rapport en gränsöverskridningsfrekvens på 53. När jag 

skulle kontrollera detta så upptäckte jag en diskrepans i rapporteringen av 

dygnsmedelvärden från 2006 i förhållande till 2007 och 2008 då man under 2006 

krävt att endast 18 av dygnets 24 timmar skall vara registrerade för att 

dygnsmedelvärdet skall godkännas. Jag ämnar därvidlag anta att 

samhällsbyggnadskontoret/miljö- och hälsoskydd i Umeå haft goda skäl till detta och 

genomför därför min kontrolle under jämförliga premisser. Denna gjordes genom att 

jag rekonstruerade datamatrisen så att dygnets 24 timmar blev variabler med 

uppmätta (alternativt saknade) värden för årets 365 dygn, varpå jag befallde SPSS att 

beräkna radmedelvärden för de 365 olika raderna och sedan spara dessa i en ny 

variabel som då innehöll alla årets dygnsmedelvärden. Jag kontrollerade sedan 

antalet timmar registrerade för varje dygn och fann att 2006-06-22 skulle exkluderas, 

i enlighet med kommunrapporten. Därefter befalldes SPSS att koda om dem i en 

dikotom filtreringsvariabel som antog värdet 0 om medelvärdet ej överskred 60 

µg/m 3 eller antog värdet 1 om den överskred 60 µg/m 3 . Därefter summerade jag alla 

ettorna och enligt dessa beräkningar på det urpsrungliga datasetet så bör 

gränsöverskridningsfrekvensen med avseende på dygnsmedelvärden vara 56. 


överskridningsfrekvensen summerades också till 56. 


kontrollerade detta på samma sätt som tidigare och fann att den siffran mycket riktigt 

bör vara 62. 


överskridningsfrekvensen summerades även den till 62. 

35




kontrollerade detta på samma sätt som tidigare och fann att den siffran bör vara 41, 

alltså överensstämmande siffror. 


överskridningsfrekvensen summerades till 40, därmed har ett imputerat värde för en 

saknad observation skattats lägre än dess tillhörande dygns medelvärde och på så 

sätt fått ner det under gränsen för överskridning. Detta är ytterligare ett exempel på 

varför det är olämpligt att bortse ifrån bortfallet i datafångsten. 

4.3.1.3. Årsmedelvärde 

• För 2006 anges i kommunens rapport ett årsmedelvärde på 42, vilket 

överensstämmer både med min egen beräkning på det ursprungliga datasetet samt 

med det årsmedelvärde som det framtagna fullständiga datasetet gav upphov till. 

• För 2007 anges i kommunens rapport ett årsmedelvärde på 44, vilket är något högre 

än min egen beräkning på det ursprungliga datasetet som gav ett årsmedelvärde på 

43. Det årsmedelvärde som det framtagna fullständiga datasetet gav upphov till 

visade sig också vara 43. 

• För 2008 anges i kommunens rapport ett årsmedelvärde på 41,6. Jag kontrollerade 

4.3.2. PM10 

detta på samma sätt som tidigare och fann att den siffran var korrekt. Årsmedelvärdet 

baserat på det fullständiga datasetet blev även det 41,6. 

Tillvägagångssättet för kontroll av tidigare beräkningar baserade på det ursprungliga datasetet 

samt för nya beräkningar baserade på det imputerade fullständiga datasetet är likadant för 

PM10 som det var för NO2. Nedan följer beräkningar för gränsöverskridningsfrekvensen med 

avseende på olika mått: 

36



4.3.2.1. Dygnsmedelvärde 

• För 2006 anges i kommunrapporten en gränsöverskridningsfrekvens på 34, vilket 

överenstämmer med min kontrollräkning. Däremot visar det sig att det fullständiga 

datasetet genererat 35 gränsöverskridande dygn. 


inte överenstämmer med min kontrollräkning som säger att siffran bör vara 23. 

Däremot ger en beräkning baserad på det fullständiga datasetet en 

gränsöverskridningsfrekvens på hela 35 vilket för tillbaka 

gränsöverskridningsfrekvensen till 2006 års nivåer. 


överenstämmer både med min kontrollräkning baserad på det ursprungliga datasetet 

samt den gränsöverskridningsfrekvens som beräknades baserad på det fullständiga 

datasetet. 

4.3.2.2. Årsmedelvärde 

• För 2006 anges i kommunens rapport ett årsmedelvärde på 28,7 vilket 

överensstämmer med min egen beräkning på det ursprungliga datasetet sånär som på 

ett avrundningsfel upp till 28,8. Det årsmedelvärde som det fullständiga datasetet gav 

upphov till var även det 28,7. 

• För 2007 anges i kommunens rapport ett årsmedelvärde på 26, men som enligt min 

egen beräkning på det ursprungliga datasetet bör vara 27,3. Beräkningen baserad på 

det fullständiga datasetet tar ner årsmedelvärdet till 27,1. 

• För 2008 anges i kommunens rapport ett årsmedelvärde på 25,4. Jag kontrollerade 

detta på samma sätt som tidigare och fann att den siffran var korrekt. Årsmedelvärdet 

baserat på det fullständiga datasetet blev 25,6. 

37

5. Diskussion 



5.1. Antaganden om MCAR/MAR samt klassificering av bortfallsmekanismen 

I avsnitt 2.5 Datafångst så konstaterades att bortfallet inte tycks vara relaterat till värdet på NO2 eller 

PM10 för respektive dataset. Det gick heller inte att hitta någon indikation på att specifika värden på 

timmar, dagar, eller månader förmådde förklara bortfallet, utan den information som gick att utvinna 

var att bortfallet följde en trend där skillnaden i antalet fångade observationer mellan olika värden på 

de inkluderade faktorerna tycktes växa ju större tidsspann dem innefattade. Störst var skillnaderna 

mellan årets tolv månader, därefter skillnaden mellan veckans sju dagar, och minst var skillnaden 

mellan dygnets tjugofyra timmar. Detta anser jag tyder på att bortfallen kommer ”i klump” och därmed 

bildar luckor eller glapp i tidsserien. Man kan t.e.x. tänka sig att en mätstation drabbas av 

strömavbrott, och att det hinner gå ett antal timmar innan detta uppmärksammats, rapporterats och 

slutligen åtgärdats. Därmed går ett antal observationer irad förlorade snarare än enstaka 

observationer slumpmässigt placerade i mätprocessen. Inget i denna trend talar dock emot det tidigare 

postulerade antagandet om MCAR i avsnitt 1.2.1.1, och jag ser heller ingen intuitiv förklaring till varför 

bortfallet inte skulle vara MCAR. Jag har slutligen tittat på väntetider mellan att mätningarna går ner, 

för om de är exponentialfördelade, därmed slumpmässiga, så är det ett argument som talar för MCAR. 

Som framgår av Q-Q plottarna mot exponentialfördelningen så tycks detta gälla för NO2 men är något 

mer tveksamt för PM10. 33 Vad detta beror på är svårt att säga, men jag tycker ändå att det är 

tillräckligt nära för att inte vara ett argument emot MCAR för någon av variablerna. Därmed anser jag 

att såsom bortfallet hitills har sett ut för samhällsbyggnadskontoret/miljö- och hälsoskydd i Umeås 

mätningar av NO2 och PM10 utmed Västra Esplanaden så kan det antas vara Missing Completely At 

Random, MCAR. 

Som jag nämnde i avsnitt 1.2.1.2 så anser Allison (2001) att antaganden om MAR och 

ignorerbar bortfallsmekanism är ekvivalent, och eftersom MAR är ett svagare antagande än MCAR så 

bör bortfallsmekanismen i detta fall i alla anseenden betraktas som ignorerbar i bemärkelsen att det 

inte skulle tillföra modellen något att försöka modellera bortfallsmekanismen. 

33 Läsaren hänvisas till Bilaga 5 vad gäller Q-Q plottar mot exponentialfördelningen för NO2 och PM10 

38



5.2. Slutsatser av tidigare studier 

Jag skulle nu vilja återknyta till de några av de studier som nämndes i avsnitt 1.2 Tidigare Studier för 

att förtydliga och förklara några av de val jag gjort under arbetets gång. 

För att återkoppla till diskussionen som jag kortfattat förde på sidan 29 angående den 

höga Ljung-Box statistikan för dem ansatta tidsseriemodellerna, betänk tidigare nämnda Philip K. 

Hopkes, Chuanhai Lius, och Donald B. Rubins artikel om strategier för att hantera saknade 

observationer genom att titta på tidsseriedata av luftföroreningar i Arktis där författarna sluter sig till 

att: 

”imputationsmodeller i regel inte behöver vara lika exakta som 

kompletta datamodeller, eftersom imputationsmodellerna endast 

påverkar den del av datat som är imputerat. Om exempelvis en 

imputationsmodell är 10 % ofullständig för ett dataset med 30 % 

saknade observationer så kommer den slutgiltiga modellen endast 

vara 3 % ofullständig för den slutgiltiga inferensen.” 

Ljung-Box statistikan är alltså en teststatistika som indikerar huruvida allt det tidsberoende 

som finns i datat fångats upp av modellen, dvs om endast ”vitt brus” finns kvar i datat. Då denna 

fick ett signifikant högt värde så förkastades nollhypotesen om vitt brus, men vad betyder detta 

för just denna undersökning? 

Det huvudsakliga ändamålet med att modellera tidsberoendet var den här gången att få 

fram variabler som korrelerade starkt med responsvariabeln i fråga för att på så sätt möjliggöra 

en linjärprediktion av de saknade observationerna i respektive dataset med hjälp av dessa. Det 

avgörande var alltså inte att få med precis allt tidsberoende som fanns i datasetet, utan det 

starkaste, mest väsentliga tidsberoendet, vilket uppnåddes. För man sedan in det ovan nämnda 

perspektivet om skillnaden i krav på en imputationsmodell och en komplett datamodell så ter 

sig implikationen av den höga Ljung-Box statistikan än mindre relevant. Detta i kombination 

med att de faktiska värden som slutligen imputerades är högst realistiska, samt Szymon 

Hoffmans slutsats att predikteringen av NOx är bättre när höga halter uppmätts (som här är 

fallet, Umeås utomhusluft är i denna bemärkelse mer förorenad än de bägge polska städernas 

utomhusluft), gör att jag står fast vid min tidigare ståndpunkt om att den tidsseriemodellering 

som genomfördes var korrekt utifrån de premisser som förelåg. 

39



5.3. Metodkontroll 

För att kontrolla den tillämpade metoden så genomförde jag en kontrollprocedur där jag utgick 

ifrån de observerade värdena som fanns i variabeln NO2 och slumpade därefter ut cirka 5% av 

dessa som fick agera kontrollvärden. Jag skapade sedan ett nytt dataset där kontrollvärdena togs 

bort för att sedan skattas med multipel imputation, och följande resultat erhölls: 

o Av de kontrollvärden som slumpades fram så hade 65 av dessa ett uppmätt värde 

som överskred MKN, dvs 90 μg/m 3 . Av motsvarande 65 observationer i det poolade 

imputationssetet så hade 55st ett skattat värde som överskred MKN, därmed 

predikterades ca 84,6 % korrekt av just dess 65 observationer. 

o Av de totala antalet skattade värden i det poolade imputationssetet så hade 68st ett 

gränsöverskridande värde, vilket ger en sammanlagd överprediktion på ca 4, 6%. 

Detta anser jag vara mycket tillfredsställande för undersökningens ändamål - skattning av 

gränsöverskridningsfrekvensen - som medför att högst prioritet ges en så exakt skattning som 

möjligt men sedan att felskattningarna hellre hamnar på ovansidan av det förväntade värdet, så att 

säga. 

5.4. Metodens implikationer 

I avsnitt 4.3 Nya skattningar av gränsöverskridningsfrekvenser så framgår det hur den multipla 

imputationsprocessens praktiska implikationer faller ut med avseende på tim-, dygns- och 

årsmedelvärden. De flesta förändringarna i gränsöverskridningsfrekvenserna är relativt 

marginella, utom vad gäller dygnsmedelvärdena för PM10. Där har imputationsprocessen bidragit 

på ett betydelsefullt sätt genom att skatta gränsöverskridningsfrekvensen till 35 vilket är precis 

den gränsöverskridningsfrekvens som är tillåten på ett år, och betydligt högre än den tidigare 

rapporterade frekvensen på 25. 

Även om dessa praktiska följder av metodens tillämpning givetvis är fundamentala, så 

finns där andra perspektiv värda att begrunda. För vad innebär det inte för trovärdigheten i det 

miljöarbete som bedrivs från en stads och kommuns sida att de mätningar av luftföroreningar som 

görs också är så korrekta som möjligt? 

40



6. Tillkännagivanden 

Jag vill tacka Fredrik Lönneborg vid samhällsbyggnadskontoret/miljö- och hälsoskydd för att ha 

efterfrågat detta intressanta uppsatsämne samt försett mig med allt det dataunderlag som använts i 

uppsatsen. Jag vill också tacka Göran Arnoldsson vid Statistiska Institutionen, Umeå Universitet som 

handlett mig under uppsatsskrivandet och kommit med många insiktsfulla synpunkter och idéer. 

7. Referenser 

7.1. Litteratur 

Chatfield, Chris. (2003). The analysis of Time Series, an introduction, 6 th ed. Chapman & 

Hall/CRC. 

Tabachnik, B.G, Fidell, L.S. (2007) Using Multivariate Statistics, 5:th ed. Pearson Education, Inc. 

7.2. Artiklar och skrivelser 

Allison, P.D. (2001). Missing Data. Sage University Papers Series on Quantative Applications in 

the Social Sciences, 07-136. Thousand Oaks, CA: Sage. 

Hoffman, S. (2006). Short-Time Forecasting of Atmospheric NOx Concentration by Neural 

Networks. Environmental Engineering Science, Vol.23, No. 4, p. 603 – 609 

Hopke, P.K. Liu, C. Rubin, D.B. (2001) Multiple Imputation for Multivariate Data with Missing 

and Below-Threshold Measurements: Time-Series Concentrations of Pollutants in the 

Arctic. Biometrics, 57, p. 22-33. 

Iversen, G. R. (1976). Bayesian Statistical Inference. Sage University Papers Series on 

Quantative Applications in the Social Sciences, 07-001. Beverly Hills and London: Sage. 

Li, K.H. Raghunathan, T.E. Rubin, D.B. (1991) Large-Sample Significance Levels from Multiply 

Imputed Data Using Moment-Based Statistics and an F Reference Distribution. Journal of 

the American Statistical Association. 86, 1065-1073 

Palma, W. Del Pino, G. (1999) Statistical Analysis of incomplete long-range dependent data. 

Biometrica, 86, 4, p. 965 – 972. 

Rubin, D.B. (1976). Inference and missing data. Biometrica, 63, p. 581-592. 

41



Samhällsbyggnadskontoret Miljö – och hälsoskydd, (2006). Luften i Umeå – Sammanställning 

av mätningar vid Västra Esplanaden 2006-01-01 – 2006-12-31. Umeå Kommun. 





Schafer, J.L. (1997) Analysis of Incomplete Multivariate Data. London: Chapman and Hall 

7.3. Övriga källor 

SPSS Statistics 17.0 (2008-12-01) SPSS Multiple Imputation Pooling Algorithms: Combining 

Results After Multiple Imputation. 

42

Bilaga 1a 

Valid 



Hour_Day 

Frequency Percent Valid Percent 

1:00 1071 4,1 4,2 

2:00 1071 4,1 4,2 

3:00 1071 4,1 4,2 

4:00 1071 4,1 4,2 

5:00 1071 4,1 4,2 

6:00 1071 4,1 4,2 

7:00 1071 4,1 4,2 

8:00 1071 4,1 4,2 

9:00 1071 4,1 4,2 

10:00 1069 4,1 4,2 

11:00 1066 4,1 4,2 

12:00 1064 4,0 4,1 

13:00 1064 4,0 4,1 

14:00 1067 4,1 4,2 

15:00 1069 4,1 4,2 

16:00 1069 4,1 4,2 

17:00 1070 4,1 4,2 

18:00 1071 4,1 4,2 

19:00 1071 4,1 4,2 

20:00 1072 4,1 4,2 

21:00 1072 4,1 4,2 

22:00 1072 4,1 4,2 

23:00 1071 4,1 4,2 

24:00 1068 4,1 4,2 

Total 25674 97,6 100,0 

Missing System 630 2,4 

Total 26304 100,0 

NO2 frekvenser 

Valid 

Day_Week 


Sunday 3695 14,0 14,4 

Monday 3692 14,0 14,4 

Tuesday 3684 14,0 14,3 

Wednesday 3669 13,9 14,3 

Thursday 3620 13,8 14,1 

Friday 3642 13,8 14,2 

Saturday 3672 14,0 14,3 

Total 25674 97,6 100,0 


Total 26304 100,0 

Valid 

Month_Year 


January 2232 8,5 8,7 

February 2040 7,8 7,9 

March 2231 8,5 8,7 

April 2160 8,2 8,4 

May 2232 8,5 8,7 

June 2153 8,2 8,4 

July 2063 7,8 8,0 

August 1916 7,3 7,5 

September 2160 8,2 8,4 

October 2198 8,4 8,6 

November 2077 7,9 8,1 

December 2212 8,4 8,6 

Total 25674 97,6 100,0 


Total 26304 100,0 

43



Observationsfrekvens för dygnets 

24 timmar, NO2 

Observationsfrekvens för veckans 

7 dagar, NO2 

Observationsfrekvens för årets 

12 månader, NO2 

44



Hour Mean Std. Dev. Minimum Maximum 

1:00 31,88719 18,829105 3,820 136,320 

2:00 28,20931 16,780096 3,820 119,040 

3:00 25,63964 15,679387 3,820 115,200 

4:00 23,25044 14,538450 1,910 105,600 

5:00 23,64969 14,254822 1,910 82,130 

6:00 31,21571 19,093410 1,910 130,560 

7:00 44,06809 26,803747 1,910 172,800 

8:00 51,60415 31,960966 3,820 289,920 

9:00 51,19729 32,883649 3,820 309,120 

10:00 48,13401 27,983434 3,840 263,040 

11:00 47,43885 27,229944 5,760 282,240 

12:00 46,18478 23,701947 7,640 174,720 

13:00 46,84300 23,221826 5,760 203,520 

14:00 47,47724 23,962352 7,680 205,440 

15:00 49,79972 24,896616 3,840 195,840 

16:00 52,41969 27,354149 5,760 276,480 

17:00 53,20072 29,020041 7,680 332,160 

18:00 50,93627 28,708077 5,760 303,360 

19:00 48,71179 28,096443 5,730 316,800 

20:00 47,30751 25,512849 5,730 230,400 

21:00 46,55369 24,819503 5,760 224,640 

22:00 45,09551 23,218393 5,760 199,680 

23:00 41,67712 22,697433 5,730 222,720 

24:00 36,77286 20,181494 3,820 149,760 

NO2 medelvärden 

Day Mean Std. Dev. Minimum Maximum 

Sunday 30,967 20,469091 1,910 205,440 

Monday 45,744 28,955677 3,820 291,840 

Tuesday 46,953 25,302539 5,730 316,800 

Wednesday 48,018 26,763055 3,840 309,120 

Thursday 48,199 26,617572 3,840 261,120 

Friday 45,021 27,555450 3,840 332,160 

Saturday 32,497 19,329534 3,820 140,160 

Month Mean Std. Dev. Minimum Maximum 

January 45,261 29,800762 3,840 253,440 

February 51,517 28,243067 5,760 205,440 

March 52,795 26,932706 5,730 182,400 

April 40,024 23,756153 3,840 222,720 

May 40,734 19,576454 5,760 147,840 

June 33,780 16,245555 3,820 96,000 

July 29,060 13,691939 3,820 80,640 

August 36,930 17,201631 3,840 110,780 

September 38,877 21,326914 1,920 134,400 

October 44,441 28,922597 3,820 289,920 

November 52,967 38,147708 3,840 332,160 

December 42,433 26,821890 1,910 316,800 

45

Bilaga 1b 

Valid 



Hour_Day 


1:00 1035 3,9 4,2 

2:00 1034 3,9 4,2 

3:00 1033 3,9 4,2 

4:00 1030 3,9 4,1 

5:00 1032 3,9 4,2 

6:00 1033 3,9 4,2 

7:00 1034 3,9 4,2 

8:00 1034 3,9 4,2 

9:00 1031 3,9 4,1 

10:00 1029 3,9 4,1 

11:00 1030 3,9 4,1 

12:00 1033 3,9 4,2 

13:00 1039 3,9 4,2 

14:00 1041 4,0 4,2 

15:00 1041 4,0 4,2 

16:00 1041 4,0 4,2 

17:00 1043 4,0 4,2 

18:00 1041 4,0 4,2 

19:00 1039 3,9 4,2 

20:00 1040 4,0 4,2 

21:00 1040 4,0 4,2 

22:00 1039 3,9 4,2 

23:00 1035 3,9 4,2 

24:00 1032 3,9 4,2 

Total 24859 94,5 100,0 


Total 26304 100,0 

PM10 frekvenser 

Day_Week 


Valid Sunday 3510 13,3 14,1 

Monday 3501 13,3 14,1 

Tuesday 3552 13,5 14,3 

Wednesday 3580 13,6 14,4 

Thursday 3531 13,4 14,2 

Friday 3602 13,7 14,5 

Saturday 3583 13,6 14,4 

Total 24859 94,5 100,0 

Month_Year 


Valid January 2223 8,5 8,9 

February 1905 7,2 7,7 

March 1951 7,4 7,8 

April 2079 7,9 8,4 

May 2134 8,1 8,6 

June 1960 7,5 7,9 

July 2228 8,5 9,0 

August 2100 8,0 8,4 

September 2012 7,6 8,1 

October 2156 8,2 8,7 

November 1923 7,3 7,7 

December 2188 8,3 8,8 

Total 24859 94,5 100,0 

46



Observationsfrekvens för dygnets 

24 timmar, PM10 

Observationsfrekvens för veckans 

6 dagar, PM10 

Observationsfrekvens för årets 

12 månader, PM10 

47



PM10_Corr * Hour_Day 

Hour_Day Mean Std. Deviation Minimum Maximum 

1:00 21,6173 24,89805 1,43 296,53 

2:00 18,8138 19,77820 1,08 277,08 

3:00 16,4212 15,83727 ,84 257,53 

4:00 15,1834 14,76192 ,65 235,82 

5:00 16,1350 18,42395 ,13 379,08 

6:00 22,2564 34,34047 ,52 440,28 

7:00 30,2658 47,74623 ,65 572,04 

8:00 32,8663 44,53998 ,91 627,12 

9:00 30,3016 35,71811 1,69 351,91 

10:00 29,5840 41,06717 1,69 711,88 

11:00 28,5230 33,65061 3,38 374,16 

12:00 28,5355 30,98290 4,55 346,19 

13:00 29,7880 32,70658 ,39 284,57 

14:00 30,2013 33,17407 1,32 257,40 

15:00 31,8021 37,08935 2,60 476,58 

16:00 32,8518 36,72943 3,48 328,77 

17:00 32,5355 38,11726 1,04 326,69 

18:00 30,7905 37,48204 1,82 364,44 

19:00 29,6830 36,00751 2,99 352,30 

20:00 29,5784 41,27724 ,26 512,20 

21:00 30,0786 43,75199 2,21 549,12 

22:00 29,7886 43,51460 ,65 586,68 

23:00 28,8654 42,76460 1,68 726,84 

24:00 25,0358 38,38792 1,43 886,80 

PM10 medelvärden 

PM10_Corr * Day_Week 

Day_Week Mean Std. Deviation Minimum Maximum 

Sunday 19,2006 22,73537 ,65 430,30 

Monday 28,3814 38,08098 ,84 572,04 

Tuesday 30,1593 38,81539 ,26 711,88 

Wednesday 30,2539 37,26477 ,91 586,68 

Thursday 33,0223 46,97277 1,82 886,80 

Friday 28,9116 36,94870 ,13 627,12 

Saturday 20,1461 20,24763 ,39 254,54 

PM10_Corr * Month_Year 

Month_Year Mean Std. Deviation Minimum Maximum 

January 17,8311 17,26375 ,26 259,35 

February 28,3368 35,32924 1,92 364,44 

March 44,8268 63,07492 ,52 627,12 

April 57,6509 71,99017 1,43 886,80 

May 36,2279 30,61315 1,82 374,66 

June 22,3526 20,22735 1,08 711,88 

July 16,8711 8,67443 2,52 99,06 

August 21,3507 11,62742 2,40 99,71 

September 21,3742 13,58620 ,39 117,72 

October 26,2629 29,59338 ,13 451,80 

November 18,1696 19,25795 ,91 191,62 

December 16,4849 14,45233 ,84 218,66 

48

Bilaga 2a 



NO2 tidsseriemodellering 

Spridningsdiagram före (t.h.) och efter (t.v.) logaritmering av NO2. 

Normalitetsplott (m.a.p. kvartilerna: Q-Q) före (t.v.) och efter (t.h.) logaritmering av NO2. 

49



Tidsseriediagram för logaritmen av NO2 före säsongsdifferentiering. 

Tidsseriediagram för logaritmen av NO2 efter säsongsdifferentiering 

Utskrift till Dickey-Fuller test av enhetsrot för logaritmen av NO2 efter säsongsdifferentiering 

Coefficients a,b 

Unstandardized Coefficients 

Model B Std. Error Sig. 

1 LAGS(ln_NO2_Corr,24) -,017 ,001 ,000 

a. Dependent Variable: SDIFF(ln_NO2_Corr,1,24) 

b. Linear Regression through the Origin 

50



Plott av den partiella autokorrelationsfunktionen för logaritmen av NO2. 

Plott av autokorrelationsfunktionen för logaritmen av NO2. 

51



Plott av autokorrelationsfunktionen (t.v.) samt partiella autokorrelationsfunktionen (t.h.) för logaritmen 

av NO2 efter ansättande av en AR(1) process. 


av NO2 efter ansättande av en SARIMA (1,0,0)(0,1,1) 24 process. 

Model 

Utskrift med modellens Ljung-Box statistika och förklaringsgrad. 

Number of 

Predictors 

Model Statistics 

Model Fit statistics Ljung-Box Q(18) 

Stationary R- 

squared R-squared Statistics DF Sig. 

Number of 

Outliers 

µg/m3_Corr-Model_1 0 ,861 ,821 244,156 16 ,000 0 

52



Spridningsdiagram för den ansatta modellens residualer. 

Tidsseriediagram för den ansatta modellens residualer. 

53

Bilaga 2b 



PM10 tidseriemodellering 

Spridningsdiagram före (t.h.) och efter (t.v.) logaritmering av PM10. 

Normalitetsplott (m.a.p. kvartilerna: Q-Q) före (t.v.) och efter (t.h.) logaritmering av PM10. 

54



Tidsseriediagram för logaritmen av PM10 före säsongsdifferentiering. 

Tidsseriediagram för logaritmen av PM10 efter säsongsdifferentiering 

Utskrift till Dickey-Fuller test av enhetsrot för logaritmen av PM10 efter säsongsdifferentiering 

Coefficients a,b 

Unstandardized Coefficients 

Standardized 

Coefficients 

Model B Std. Error Beta t Sig. 

1 LAGS(ln_pm10_Corr,24) -,032 ,002 -,129 -20,316 ,000 

a. Dependent Variable: SDIFF(ln_pm10_Corr,1,24) 

b. Linear Regression through the Origin 

55




av PM10. 


av PM10 efter ansättande av en AR(1) process. 

56




av PM10 efter ansättande av en SARIMA(1,0,0)(0,1,1) 24 process. 

Model 

Utskrift för modellen med Ljung-Box statistika och förklaringsgrad 

Number of 

Predictors 

Model Statistics 

Model Fit 

statistics Ljung-Box Q(18) 

Stationary R- 

squared Statistics DF Sig. 

Number of 

Outliers 

PM10_Corr-Model_1 0 ,821 69,372 16 ,000 0 

57

Bilaga 3a 



Imputationsprocessen för NO2 

Imputation Specifications 

Imputation Method Fully Conditional Specification 

Number of Imputations 5 

Model for Scale Variables Linear Regression 

Interactions Included in 

Models 

(none) 

Imputation Constraints 

Role in Imputation Imputed Values 

Dependent Predictor Minimum Maximum 

Log of NO2_Corr Yes Yes (none) (none) 

LAGS(ln_NO2_Corr,1) No Yes 

Noise residual from 

ln_NO2_Corr-Model_1 

No Yes 

Hour_Day No Yes 

Day_Week No Yes 

Month_Year No Yes 

Utskrift med numeriska beskrivningar för de återskapade dataseten samt det ursprungliga. 

Data 

Impu 

ln_NO2_Corr 

tation N Mean 

Std. 

Deviation Minimum Maximum 

Original Data 25673 3,5629 ,63500 ,6471 5,8056 

Imputed Values 

Complete Data After 

Imputation 

1 631 3,5004 ,63703 1,7437 5,3306 

2 631 3,5090 ,64534 1,8020 6,1026 

3 631 3,4678 ,66542 1,6253 5,4648 

4 631 3,4529 ,62050 1,4495 5,2146 

5 631 3,4512 ,62720 1,5572 5,0946 

1 26304 3,5614 ,63511 ,6471 5,8056 

2 26304 3,5616 ,63529 ,6471 6,1026 

3 26304 3,5606 ,63590 ,6471 5,8056 

4 26304 3,5602 ,63487 ,6471 5,8056 

5 26304 3,5602 ,63503 ,6471 5,8056 

58



Plott över konvergens i iterationsprocessen för medelvärde (övre) samt standardavvikelse (undre). 

59

Bilaga 3b 



Imputationsprocessen för PM10 

Imputation Specifications 

Imputation Method Fully Conditional Specification 

Number of Imputations 5 

Model for Scale Variables Linear Regression 

Interactions Included in 

Models 

(none) 

Imputation Constraints 

Role in Imputation Imputed Values 

Dependent Predictor Minimum Maximum 

ln_pm10_Corr Yes Yes (none) (none) 

LAGS(ln_pm10_Corr,1) No Yes 

Noise residual from 

ln_pm10_Corr-Model_1 

No Yes 

Hour_Day No Yes 

Day_Week No Yes 

Month_Year No Yes 

Utskrift med numeriska beskrivningar för de återskapade dataseten samt det ursprungliga. 

Data 

Imputati 

ln_pm10_Corr 

on N Mean Std. Deviation Minimum Maximum 

Original Data 24859 2,95033 ,755876 -2,04022 6,78762 

Imputed Values 

Complete Data After 

Imputation 

1 1445 3,01567 ,741689 ,57627 6,40109 

2 1445 2,99290 ,759442 ,40406 6,39995 

3 1445 3,00139 ,730950 ,38324 5,94190 

4 1445 2,96027 ,740780 ,57726 5,51256 

5 1445 3,01582 ,745752 ,38470 5,90594 

1 26304 2,95392 ,755236 -2,04022 6,78762 

2 26304 2,95267 ,756120 -2,04022 6,78762 

3 26304 2,95313 ,754604 -2,04022 6,78762 

4 26304 2,95088 ,755044 -2,04022 6,78762 

5 26304 2,95393 ,755456 -2,04022 6,78762 

60



Plott över konvergens i iterationsprocessen för medelvärde (övre) samt standardavvikelse (undre). 

61

Bilaga 4a 



NO2 gränsöverskridningsfrekvens: timmedelvärden 

2006 enligt min beräkning på ursprungligt dataset 

Descriptive Statistics 

N Sum 

NO2_1910 > 90 (FILTER) 296 296 

Valid N (listwise) 296 

2006 enligt beräkning på fullständigt dataset 

imp_NO2_2006 > 90 

(FILTER) 



N Sum 

298 298 



N Sum 

NO2_1920 > 90 (FILTER) 566 566 



imp_NO2_2007 > 90 

(FILTER) 



N Sum 

571 571 

2008 enligt min beräkning på det ursprungliga datasetet 


N Sum 

NO2_1920 > 90 (FILTER) 433 433 


62



2008 enligt beräkning på fullständigt datatset 

imp_NO2_2008 > 90 

(FILTER) 



N Sum 

433 433 

NO2 gränsöverskridningsfrekvens: dygnsmedelvärden 



N Sum 

day_mean > 60 (FILTER) 56 56 



imp_day_mean > 60 

(FILTER) 



N Sum 

56 56 



N Sum 





(FILTER) 



N Sum 

62 62 

63





N Sum 





(FILTER) 



N Sum 

40 40 

2006 enligt mina beräkningar på ursprungligt data 


N Mean 

µg/m3_Corr 8737 42,18396 


2006 enligt beräkningar på fullständigt dataset 


N Mean 

imp_NO2_2006 8760 42,21728 


2007 enligt mina beräkningar på ursprungligt data 


N Mean 

µg/m3_Corr 8369 43,59425 


NO2 årsmedelvärden 

64





N Mean 

imp_µg/m3_Corr 8760 43,36712 


2008 enligt mina beräkningar på ursprungligt dataset 


N Mean 

µg/m3_Corr 8567 41,64923 




N Mean 

imp_µg/m3_Corr 8784 41,61032 


65

Bilaga 4b 



PM10 gränsöverskridningsfrekvens: dygnsmedelvärde 



N Sum 





(FILTER) 



N Sum 

35 35 



N Sum 





(FILTER) 



N Sum 

35 35 



N Sum 



66





N Sum 

imp_day_mean > 50 28 28 



N Mean 

PM10_Corr 8499 28,7737 



N Mean 

Imputed_PM10_Corr 8760 28,74058 

PM10 årsmedelvärde 



N Mean 

PM10_Corr 8181 27,2510 



N Mean 




N Mean 

PM10_Corr 8179 25,3856 

67





N Mean 


Bilaga 5 

Q-Q plott för NO2 

Q-Q plott för PM10 

diff(duNO2$downs) 

diff(duPM10$downs) 

Q-Q plottar mot exponentialfördelningen 

5000 

4000 

3000 

2000 

1000 

0 

1200 

1000 

800 

600 

400 

200 

0 

0 1000 2000 3000 4000 5000 

function(p) qexp(p, rate = 1/mean(diff(duNO2$downs))) 

0 500 1000 1500 

function(p) qexp(p, rate = 1/mean(diff(duPM10$downs))) 

68

Luften i Umeå - Umeå universitet

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?