130328 - Matematik

Karlstads unversitet
Institutionen för matematik och datavetenskap
Tentamen för Matematik för ingenjörer II, 7,5 hp, MAGA46.
2013-03-28 kl. 14.00-19.00 Max: 24p. 5: 20p; 4: 16p; 3: 12p.
Ansvariga lärare: Bengt Alm (2227) och Niclas Bernhoff (2024).
Hjälpmedel: Miniräknare (ej symbolhanterande), bifogad formelsamling.
MOTIVERA DINA LÖSNINGAR NOGGRANT.
1. a) Lös ekvationen f ′
(x) = 0 om (1p)
f(x) = x 1 − 3x 2 .
b) Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan (1.5p)
i punkten (x, y) = (1, 1).
x 2 y 3 + ln (y) = 1
2. Bestäm definitionsmängd, eventuella asymptoter samt alla lokala extrem- (2.5p)
punkter till funktionen
f(x) =
3. Beräkna följande integraler exakt:
e 2x+1
x 2 − 4x + 4 .
a) (2p)
π 2
√ √
x cos x dx;
0
b) (2p)
3
1
5x − 5
x 3 − 4x 2 + 5x dx
4. a) Beräkna gränsvärdet (1p)
lim
x→0
e x − 2 x
sin x .
b) Bestäm Taylorpolynomet av ordning 2 till funktionen f(x) = ln 1 + 2x 2 (1.5p)
kring punkten x = 1. Uppskatta också, med hjälp av detta polynom,
f (0.9).
5. Bestäm volymen av den kropp som genereras då området mellan kurvan
1
y = √ och linjerna y = 0, x = 0 och x = 3, roterar kring
x2 + 9
a) x−axeln ; (1.5p)
b) y−axeln . (1.5p)
1
var god vänd

6. Lös följande differentialekvationer:
a) (1.5p)
(1 + x 2 )y ′ + xy = 2x(1 + x 2 ) 2 , y(0) = 1;
b) (2p)
(1 + x 2 )y ′ = x(y 2 − 1), y(0) = 3;
c) (2p)
y ′′ + y ′ − 2y = (1 − 3x) e −2x .
7. Per och Maria bakar påskbullar på skärtorsdagen. När de tar ut bullarna (2p)
ur ugnen har bullarna temperaturen 200 ◦ C och läggs för att svalna i ett
rum med konstant temperatur 20 ◦ C. Efter 5 minuter har påskbullarnas
temperatur sjunkit till 120 ◦ C. När har påskbullarna svalnat till 40 ◦ C om
vi antar att avsvalningshastigheten är proportionell mot temperaturskillnaden
mellan bullarna och omgivningen?
8. I en halvcirkel med radie R inskrivs en rektangel, så att rektangelns ena (2p)
sida ligger längs med halvcirkelns diameter. Beräkna rektangelns största
möjliga omkrets.
2
Lycka till!