Effektiva beräkningar (Johan Håstad) - Skolverket

Effektiva beräkningar och 

exponentiell tillväxt 

Johan H˚astad 

Bor˚as, 10 maj, 2012 

Johan H˚astad Effektiva beräkningar och exponentiell tillväxt

Första fr˚agor 

Vem är jag? 

Hur hamnade jag här? 


Första fr˚agor 

Vem är jag? 

Hur hamnade jag här? 

Äpplet kanske inte faller s˚a l˚angt fr˚an trädet. 

Pappa skrev “Hej Matematik”. Mamma kemi- och 

matematik-lärare. 


Kort historia 

Vann SvDs matematik-tävling 1976 och 77. 


Kort historia 


Läste universitetsmatematik i gymnasiet men tänkte bli fysiker 

och läste fysik första ˚aret efter gymnasiet. 


Kort historia 




Började som doktorand i analys, gjorde lumpen p˚a Försvarets 

Radioanstalt och blev intresserad av beräkningar. 


Kort historia 






Licade för Lennart Carleson 1984 p˚a Institut Mittag-Leffler 

och ˚akte till USA och disputerade 1986 vid MIT. Nu 

studerande effektiva beräkningar. 


Kort historia 






Licade för Lennart Carleson 1984 p˚a Institut Mittag-Leffler 

och ˚akte till USA och disputerade 1986 vid MIT. Nu 

studerande effektiva beräkningar. 

Kom tillbaka till Sverige, till KTH, 1988 och har varit där 

sedan dess. Datalogi-institutionen. Professor 1992. 


S˚aledes 

Sedan snart 30 ˚ar h˚aller jag p˚a med teori för effektiva beräkningar. 

Komplexitetsteori, Algoritmanalys. 

“Diskreta problem”. Heltal snarare än realla tal. 

Typiska objekt utöver heltal: Grafer (hörn som är sammanbundna 

eller inte) och booleska variabler (sant/falskt). 


Matematiker eller datalog? 

Jag kan programmera men är varken en modern programmerare 

eller hacker. 

Flyhänta Fortran-progammerare är ett utdöende släkte... 

Känner mig mest som matematiker, men har naturligtvis färgats av 

att vara i en datalogi-miljö. 


Dagens föredrag 

N˚agra blandade fakta, lite teori. 

Fr˚aga gärna under föredraget. 

Troligare att ni (och de som inte v˚agar fr˚aga samma fr˚aga) f˚ar 

reda p˚a det ni vill. 


Lille Gauss 

Carl Friedrich Gauss har som liten skolpojke f˚att i uppgift att 

addera talen fr˚an 1 till 100 av läraren som ville ha lugn och ro. 


Lille Gauss 



Inser att rätt sätt är 

(1 + 100) + (2 + 99) . . . (50 + 51) = 101 · 50 = 5050 


Lille Gauss 



Inser att rätt sätt är 

(1 + 100) + (2 + 99) . . . (50 + 51) = 101 · 50 = 5050 

Kul att räkna effektivt! 


Alla är inte Gauss 

Men m˚anga har en dator idag. 

Att summera talen fr˚an 1 till 100 tar ingen tid. 

Att skriva ett program som summerar fr˚an 1 till N g˚ar fort, ännu 

fortare att köra. 


Alla är inte Gauss 

Men m˚anga har en dator idag. 

Att summera talen fr˚an 1 till 100 tar ingen tid. 

Att skriva ett program som summerar fr˚an 1 till N g˚ar fort, ännu 

fortare att köra. 

För ökande N blir svaret fel innan det tar tid. N = 65536 ger 

summa −2147450880. Varför d˚a? 


Huvuduppgift komplexitetsteori 

Givet ett beräkningsproblem, vilket är effektivaste sättet att lösa 

det? 

L˚at oss fokusera p˚a datortid. 


Huvuduppgift komplexitetsteori 

Givet ett beräkningsproblem, vilket är effektivaste sättet att lösa 

det? 

L˚at oss fokusera p˚a datortid. 

Formellt studerar man antalet elementära operationer som funktion 

av indatas storlek. 


Faktorisering av heltal 

Grundläggande problem. Faktorisera 1223456789! 


Faktorisering av heltal 

Grundläggande problem. Faktorisera 1223456789! 

3109 · 393521 

10 raders program med provdivision gör detta snabbare än man 

blinkar. 


Ett klassiskt föredrag 

Frank Nelson Cole visade 1903 att 

2 67 − 1 = 147573952589676412927 = 193707721 · 761838257287 




2 67 − 1 = 147573952589676412927 = 193707721 · 761838257287 

“Twenty years of Sundays.” 




2 67 − 1 = 147573952589676412927 = 193707721 · 761838257287 

“Twenty years of Sundays.” 

Hittas idag p˚a 5 minuter via provdivision. 


Större tal 

Säg att vi skulle vilja faktorisera 

F7 = 2 128 + 1 = 340282366920938463463374607431768211457. 

Ett tal med 39 decimala siffor. 


Större tal 

Säg att vi skulle vilja faktorisera 

F7 = 2 128 + 1 = 340282366920938463463374607431768211457. 

Ett tal med 39 decimala siffor. 

Tar m˚anga ˚ar med provdivision. 


Storleksordningar 

En dator gör ungefär en miljard (10 9 ) räkneoperationer i sekunden. 




Provdivision av ett 18-siffrigt tal tar i värsta fall en miljard test och 

s˚aldes 1 sekund. 




Provdivision av ett 18-siffrigt tal tar i värsta fall en miljard test och 

s˚aldes 1 sekund. 

Provdivision av ett 36-siffrigt tal tar i värsta fall en miljard g˚anger 

mer och s˚aledes 30 ˚ar. 


Trots allt 

F7 = 340282366920938463463374607431768211457 = 

59649589127497217 · 5704689200685129054721 

och det är, idag, lätt att hitta dessa faktorer. 


Trots allt 

F7 = 340282366920938463463374607431768211457 = 

59649589127497217 · 5704689200685129054721 

och det är, idag, lätt att hitta dessa faktorer. 

Finns bättre sätt än provdision. 


N˚agra faktoriseringsmetoder. 

Pollards ρ-metod. 36 siffor p˚a en timme. 




Kvadratiska s˚allet. 90 siffror p˚a en timme. 





Talkroppss˚allet. 90 siffror p˚a en timme. 





Talkroppss˚allet. 90 siffror p˚a en timme. 

Talkroppss˚allet sl˚ar kvadratiska s˚allet för stora tal och h˚aller det 

officiella världsrekordet med 232 siffror för generell faktorisering. 


Sv˚arighetsresultat 

Idag kan ingen faktorisera ett allmänt tal med 1000 siffor. 

Hur m˚anga räkneoperatoner kan man bevisa m˚aste göras? 





Ett par tusen, man m˚aste läsa indata, göra n˚agot med varje siffra 

och skriva ut svaret. 







L˚angt ifr˚an förväntat värde som är minst 10 20 . 







L˚angt ifr˚an förväntat värde som är minst 10 20 . 

Vi har väsentligen inga metoder att visa sv˚arighet. 


Vet vi ingenting? 

Kan svara b˚ade “ja” och “nej” p˚a detta. 

Vi är väldigt bra p˚a att jämföra problem. D˚aliga p˚a att komma till 

absoluta svar. 


En generell problemklass 

NP. Problem där, precis som vid faktorisering, det är lätt att 

kontrollera ett hittat svar. 





Känt problem: Handelsresandens problem. Kan man besöka 

Sveriges 1000 största städer och bara ˚aka 40000 kilometer? 





Känt problem: Handelsresandens problem. Kan man besöka 

Sveriges 1000 största städer och bara ˚aka 40000 kilometer? 

Olika typer av “n˚al i höstacken”-problem. 


Sv˚arighetsbevis? 

Det finns inget problem i NP som är bevisat sv˚art, det är möjligt 

att man alltid kan leta p˚a ett smart sätt. 





Det finns problem som är de “sv˚araste i NP”, de NP-fullständiga. 





Det finns problem som är de “sv˚araste i NP”, de NP-fullständiga. 

Alla vettiga forskare inom omr˚adet tror att dessa problem är sv˚ara. 


NP = P, Läget 

Ett av Clay-stiftelsens millenium-problem och belönas med en 

miljon dollar. 

Forskningen är inte i närheten av att lösa detta. 

Finns inga metoder att visa att denna typ av beräkningsproblem är 

sv˚ara. 


NP = P, Läget 

Ett av Clay-stiftelsens millenium-problem och belönas med en 

miljon dollar. 

Forskningen är inte i närheten av att lösa detta. 

Finns inga metoder att visa att denna typ av beräkningsproblem är 

sv˚ara. 

Nästan säkert sant. 


Faktorisering 

Faktorisering av heltal är inte NP-fullständigt s˚a enda skälet att tro 

att det är sv˚art är att ingen lyckats göra det effektivt. 


Faktorisering 



Samhället har via kryptosystemet RSA, investerat miljarder i 

förhoppning att det är sv˚art. 


Faktorisering 



Samhället har via kryptosystemet RSA, investerat miljarder i 

förhoppning att det är sv˚art. 

Akademiker, särskilt matematiker, kan ha problem som 

beslutsfattare. 


N˚agot enklare 

Vi först˚ar inte faktorisering. 

L˚at oss göra n˚agot enklare. Addition och multiplikation. 


Addition och multiplikation 

L˚at oss betrakta beräkning av 

aritmetik med 5-siffriga tal. 

29123 + 51234 29123 ∗ 51234 


Addition och multiplikation 

L˚at oss betrakta beräkning av 

aritmetik med 5-siffriga tal. 

Generellt: n-siffriga tal. 

29123 + 51234 29123 ∗ 51234 

Elementär operation: Addition och multiplikation av ensiffriga tal. 

Tänk p˚a n = 1000 för handräkning n = 1000000 med dator. 


Addition 

2 9 1 2 3 

+ 5 1 2 3 4 

8 0 3 5 7 

Ungefär 10 operationer, i allmänhet för n-siffriga tal 2n 

operationer. Mest skrivarbete. 


Multiplikation 

2 9 1 2 3 

∗ 5 1 2 3 4 

1 1 6 4 9 2 

8 7 3 6 9 

5 8 2 4 6 

2 9 1 2 3 

1 4 5 6 1 5 

1 4 9 2 0 8 7 7 8 2 

Ungefär 100 operationer, i allmänhet för n-siffriga tal ≈ 4n 2 

operationer. En hel del jobb. 


Naturliga fr˚aga 

Är multiplikation mer beräkningskrävande än addition eller har vi 

bara ett klumpigt sätt att utföra multiplikation? 





Vi har uppenbarligen bästa sätt, varje siffra i ena talet m˚aste 

multipliceras med varje siffra i andra talet, inget att göra ˚at. 





Vi har uppenbarligen bästa sätt, varje siffra i ena talet m˚aste 

multipliceras med varje siffra i andra talet, inget att göra ˚at. 

HELT FEL! 


Verkliga förh˚allanden 

Multiplikation av n-siffors tal kan utföras med ungefär 10n log n 

operationer. Skiss. 

1 Tänk p˚a talen som vektorer. 

2 Gör FFT av dessa vektorer. 

3 Multiplicera transformerna punktvis. 

4 Gör invers FFT. 

5 Fixa till resultatet. 


Dagens sanning 

Vi kan inte visa att multiplikation är kr˚angligare än addition. 

Vi är bra p˚a att hitta intressanta och effektiva algoritmer. 

Vi vet nästan väldigt lite om hur vi visar att vi har bästa sättet att 

göra en beräkning. 


Kul algoritm 1 

Det är möjligt att skriva ett program som spelar Yatsy optimalt. 

En doktorand i v˚ar grupp skrev ett program över en helg. En 

oerhört duktig programmerare som har skrivet ett av världens 

bästa Othello-program. 

Kul men sv˚art terminsprojekt. 


Kul algoritm 2 

Ett primtal som ger rest 1 vid division med 4 kan p˚a ett unikt sätt 

skrivas som summan av tv˚a kvadrater. 

13 = 3 2 + 2 2 

17 = 4 2 + 1 2 

49393 = 48 2 + 217 2 

Kan hittas även om primtalet har 1000 siffor! 

Görs med Euklides algoritm för gaussiska heltal a + ib (komplexa 

tal). 


Användbart!? 

Eventuellt är algoritmen p˚a förra sidan bara av matematiskt 

intresse. 

Att kunna avgöra om stora tal (1000 siffor) är primtal är av 

extremt praktiskt intresse. 

Kryptosystemet RSA är beroende av detta. 


En kul websida 

Project Euler. Finns en stor mängd trevliga algoritmiska problem. 

Väldigt varierande sv˚arighetsgrad. 


Utblick mot forskning 

Aktuellt omr˚ade. Approximationsalgoritmer. 

Anta att NP=P s˚a att NP-fullständiga problem inte kan lösas 

optimalt. 

Studera effektiva algoritmer som kommer nära optimum. 


En svartvit värld 

Algoritmer som g˚ar polynomiell tid ( t.ex. n 4 ) p˚a problem av 

storlek n är effektiva. 

Och inga andra. 

Inte helt överenstämmande med verkligheten men ger en robust 

och intressant teori. 


Handelsresandens problem 

Vi kan inte hitta bästa lösningen. 

Christofides visade 1976 hur man effektivt hittar en lösning som 

bara är 50% längre än optimalt. 

Bäst möjligt? 


Kända resultat fr˚an senare tid 

Om städerna ligger i planet och det är avst˚and f˚agelvägen, kan 

man effektivt hitta en godtyckligt bra approximation (inom 

godtycklig faktor större än 1). 






Om vi har generella avst˚and är det sv˚art att hitta inom en faktor 

220 

219 . 






Om vi har generella avst˚and är det sv˚art att hitta inom en faktor 

220 

219 . 

Det finns föreslagna algoritmer som vi inte kan analysera. 


Slutord 

Datorer är snabba. Även naiva algoritmer som är lätta att 

implementera kan ge imponerande resultat. 

Det finns m˚anga intressanta och effektiva algoritmer, har bara 

skrapat p˚a ytan. 

Det är sv˚art att visa att problem är sv˚ara. Ett vidöppet 

forskningsfält där det g˚ar trögt. 


SLUT 

FR˚AGOR?

Effektiva beräkningar (Johan Håstad) - Skolverket

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?