2. Vektorer - mattliden.fi

2. Vektorer
Sträcka, hastighet, acceleration och kraft är
alla vektorstorheter. Till skillnad från skalära
storheter som massa, längd och tid måste
vektorer anges både med storlek och riktning.
Vi går igenom grundreglerna för
vektorberäkning i den mån de behövs för
fysikberäkningar. Vektorer betecknas ofta
med ett streck ovanför storheten, eller med
fetstil:
2.1 Vektorpilar
Vektorer anges med hjälp av pilar, där
pilens riktning visar vektorns riktning och
pilens längd motsvarar vektorns storlek.
2.2 Räkneoperationer med vektorer
Addition
Vektorer adderas enklast genom att flytta
den ena vektorn så att den börjar där den
andra vektorn slutar. Summan är den vektor
som kan dras från den första vektorns början
till den andra vektorns slut.
Subtraktion
Vektorer subtraheras så, att man i fallet A ­ B
först ritar ut vektorn B:s motsatta vektor ­B,
och därefter utför additionen A + ­B.
L2
1

2.3 Indelning i komponenter
En vektor kan alltid indelas i komponenter;
det innebär att man delar vektorn i två
vektorer som är vinkelräta motvarandra,
vanligen längs x­och y­axeln. Delarnas
summa är den ursprungliga vektorn.
Vi kan ange en vektor med hjälp av dess
komponenter. Vektorn v kan anges i formen
v = (v x, v y), där v x är vektorns längd i x­led
och v y är vektorns längd i y­led.
2.3.2 Längden av en vektor i komponentform
Om vi vill veta storleken på en vektor i komponentform kan vi använda oss av
Pythagoras sats; vektorn A:s längd är
, där Ax och Ay är vektorn A:s komponenter.
L2
2

Ex. 13
Ange hastighetsvektorn i komponentform, och
beräkna hastighetens storlek(= vektorns längd).
3

2.3.1 Addition och subtraktion av
vektorer i komponentform
Då vektorerna ges i komponentform kan vi
addera och subtrahera de enskilda
komponenterna för att få resultatvektorn.
För vektorerna
A = (A x, A y) och
B = (B x ,B y)
fås summan och differensen
A + B = (A x + B x, A y + B y)
A ­ B = (A x ­ B x, A y ­ B y)
4

Ex. 14
Båten rör sig med den angivna hastigheten i lugnt vatten.
Beräkna dess hastighet då den rör sig i floden, som har
den angivna strömningshastigheten.
Ange svaret i komponentform, och beräkna storleken av
hastigheten.
5

1.5 Relativ rörelse
1.5.1 Referenssystem
Föremåls rörelse kan betraktas ur olika
synvinkel ­ vi talar om att man kan betrakta
rörelsen ur olika referenssystem. Då man
undersöker rörelse bör man hålla sig till ett
(valfritt) referenssystem. Referenssystemet
antas vara i vila, och föremålens rörelse och
hastighet osv. anges i förhållande till
referenssystemet (På engelska talar man om
"frame of reference").
Ett föremåls rörelse kan beskrivas på olika sätt
beroende på vilket referenssystem som
används.
1.5.2 Relativ hastighet
Observatörer i olika referenssystem som rör
sig i förhållande till varandra kan uppmäta
olika hastigheter för samma objekt; detta
begrepp kallas relativ hastighet.
Mannen har tåget som referenssystem, han
ser bollen röra sig med 10 m/s.
Kvinnan har marken som referenssystem,
hon ser både tåget och bollen röra sig.
Bollen rör sig med högre hastighet i hennes
referenssystem.
För att få hastigheten v OA för objektets
rörelse i referenssystemet (A) som är i vila,
skall objektets hastighet v OB i det rörliga
referenssystemet B och det rörliga
referenssystemets hastighet v BA i förhållande
till det orörliga referenssystemet
vektoradderas.
L3
6

Ex. 15
Sarah ser tåget röra sig med ­5 m/s, och Ted sparkar
bollen med hastigheten 5 m/s i sitt referenssystem.
a) Vilken är bollens hastighet i Sarahs referenssystem?
b) Vilken hastighet har Sarah i bollens referenssystem?
c)Vilken hastighet har Ted i bollens referenssystem?
7

Ex. 16
Båtens motor ger den en hastighet av 1, 50 m/s i förhållande till
vattnet i floden. Floden rör sig med hastigheten 3,00 m/s i
förhållande till stranden. Vad är båtens hastighet i förhållande till
stranden?
Läs sid 15­18
Uppgifter: 1­19, 1­21, 1­23, 1­24
8