Dagens nyhet handlar om talföljder, ändliga och oändliga ...

Dagens nyhet handlar om talföljder, ändliga och oändliga. Talföljden
1, 2, 3, 4, 5, 6, . ..
är det första vi, som barn, lär oss om matematik över huvud taget. Så småningom
lär vi oss att denna talföljd inte har något slut – den är oändlig.
När vi blir lite äldre lär vi oss räkna snabbare genom att använda talföljden
2, 4, 6, 8, 10, 12, ...
Det är vanligt att det förekommer talföljder i intelligenstester. Målet är att fortsätta
följden med ett eller två tal. Ju färre tal följden innehåller desto fler lösningar finns
det. Med lite fantasi och analytisk förmåga brukar man kunna lösa många uppgifter.
Vi kommer här inte att studera några speciella metoder. Tanken är bara att vi ska
bekanta oss med skrivsättet och få en liten inblick i vad tekniken kan användas till.
Fortsätt talföljderna nedan med två tal
a) 5, 10, 15, 20, 25, . ..
b) 1, 3, 5, 7, . . .
c) 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...
d) 1, 2, 4, 8, 16, 32, . ..
e) 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28,...
f) 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040,...
g) 2, 3, 4, 6, 8, 14, 20,...
h) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,...
i) 2, 12, 1112, 3112, 132112,1113122112,311311222112, ...
j) 1, 3, 7, 12, 18, 26, 35,45, 56, 69,83,98,114, ...
a) 30, 35. Enkelt att se. Differensen mellan två på varandra följande (konsekutiva)
tal är 5. Talen ökar helt enkelt med 5
b) 9, 11. Alla udda positiva heltal. Differensen är 2. Talen ökar alltså hela tiden
med 2.
c) 49, 64. Talen följer följande mönster
Följden av heltalskvadrater.
1 2 , 2 2 , 3 2 , 4 2 , 5 2 , . . .
Håkan Strömberg 1 KTH Syd

d) 64, 128. Ett tal i följden multipliceras med 2 för att få det efterföljande talet.
En viktig talföljd inom datalogin. En programmerare bör kunna rabbla denna
följd från 1 till 4096 lika fort som denne kan räkna till 20.
e) 36, 45. Differensen ökar med 1 för varje tal. Mellan 15 och 21, till exempel,
är differensen 6. Alltså ska differensen till nästa tal vara 7 och vi får talet 28.
Denna talföljd kallas triangeltalen. Kopplingen till triangel framgår av figur 1
Figur 1:
f) 40320, 362880. Talföljden kan skrivas
1!, 2!, 3!, 4!, 5!, 6!, 7!, . . .
Utropstecknet står för fakultet, till exempel 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120. Följden
kan då skrivas
Då blir alltså
och
1, 1 · 2, 1 · 2 · 3, 1 · 2 · 3 · 4, 1 · 2 · 3 · 4 · 5, . . .
8! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 = 40320
9! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 = 362880
g) 36, 60. Antalet halsband man kan skapa med n pärlor av två olika färger, figur
2
Figur 2:
Vi tänker oss ett halsband där pärlorna är uppträdda på en cirkel. För denna
talföljd får man dock inte vända halsbandet.
h) 23, 29. Talföljden beskriver primtalen. De heltal n, som endast kan delas
jämnt med 1 och n (talet själv).
i) 13211321322112, 1113122113121113222112. En mycket fantasifull talföljd konstruerad
av matematikern J. H. Conway. Vi startar med talet 2. I nästa tal konstaterar
vi att föregående tal innehåller ”en tvåa”, alltså 12. I det tredje talet
Håkan Strömberg 2 KTH Syd

eskriver vi det andra genom 1112, ”en etta och en tvåa”. Det fjärde talet får
vi genom att beskriva det tredje, 3112, ”tre ettor och en tvåa” och så vidare.
j) 131, 150. Talen i talföljden är de tal som man inte kan få genom att ta differensen
av två på varandra följande tal i följden:
1 3 7 12 18 26 35 45 56 69
2 4 5 6 8 9 10 11 13
För att beteckna talen i en talföljd använder vi
a1, a2, a3, a4, . . ., an−1, an, an+1, . . .
Bokstaven a används oftast, men kan förstås ersättas med vilken annan som helst.
Talet, det något nedsänkta efter bokstaven a, kallas index och anger talets ordningsnummer
i talföljden. Om vi till exempel har denna talföljd (kallad RATS,
Reverse, Add, Then Sort)
1, 2, 4, 8, 16, 77, 145, 668,1345, 6677,13444,55778,...
så är a1 = 1, a4 = 8 och a10 = 6677. De avslutande punkterna markerar att
talföljden är oändlig.
Det är säkrare, bättre och enklare att beskriva en talföljd med en formel, som till
exempel
an = 3 + 2n
Denna formel ger a1 = 5, a2 = 7, a3 = 9 och så vidare.
5, 7, 9, 11, 13, 15,17,...
Formeln är säkrare än uppräkningen, därför att det ibland kan finnas flera tolkningar,
speciellt om uppräkningen är kort. Formeln är bättre därför att man direkt
kan räkna fram ett tal i följden med givet ordningsnummer. a100 = 3+2·100 = 203
i följden ovan.
Egentligen är det ingen skillnad på skrivsätten
f(n) = 3 + 2n och an = 3 + 2n
så länge man inser att talen n i f(n) måste vara positiva heltal. Om vi plottar i figur
3 en vanlig polynomfunktion och talen i en talföljd:
f(x) = x3
6 − 4x2 − 10x + 4 och an = n3
6 − 4n2 − 10n + 4
Visar punkterna värdet hos talföljden a1. . .a30. f(x) är som vanligt en kontinuerlig
kurva.
Vilka av de inledande talföljderna kan då beskrivas med en formel?
a) Denna formel hittar vi enkelt
an = 5n
Håkan Strömberg 3 KTH Syd

600
400
200
-200
-400
b) Den här är inte svårare
5 10 15 20 25 30
Figur 3:
c) Även denna kan vi skriva ned direkt
d) Den här är lite knepigare kanske
e) Den här är ganska svår för oss:
an = 1 + 2(n − 1) = 2n − 1
an = n 2
an = 2 n−1
an =
n(n + 1)
2
f) Den här klarar vi inte att hitta någon formel för.
g) Inte heller denna kan vi hitta någon formel för.
h) Skulle du hitta en formel för följden av primtal kommer du att bli den mest
berömde matematikern genom alla tider.
i) Den här följden har troligtvis ingen formel heller.
j) Även denna ligger utanför vårt revir.
När man inte kan finna en formel som ovan, där man direkt får önskat tal genom att
sätta in motsvarande n, kan möjligen talföljden uttryckas som en rekursiv formel.
Till exempel
an+1 = 2an
där vi ger a1 = 1. Om n = 1 kan formeln översättas till
a2 = 2a1 = 2 · 1 = 2
När vi nu har a2 = 2 kan vi med dess hjälp bestämma a3
a3 = 2a2 = 2 · 2 = 4
Håkan Strömberg 4 KTH Syd

Och när vi har a3 kan vi bestämma a4 genom
a4 = 2a3 = 2 · 4 = 8
På samma sätt får vi nu a5 = 2a4 = 2 · 8 = 16. Vi har alltså nu talföljden:
1, 2, 4, 8, 16
Visst måste det vara samma talföljd som genereras av formeln
an = 2 n−1
Vi kan alltså framställa talföljden på två olika sätt. an = 2 n−1 , den direkta formeln,
är alltid att föredra.
Det finns dock situationer då vi har en rekursiv formel och saknar den direkta
formeln. Då får vi nöja oss med den rekursiva.
För f) är det inte svårt att se att den rekursiva funktionen, då a1 = 1, blir (Observera
att en rekursiv funktion alltid måste åtföljas av ett startvärde).
an+1 = (n + 1)an
Det är inget som säger, att man ska uttrycka det vänstra ledet som an+1 (som boken
gör). an är lika bra eller bättre. Då skriver vi om formeln ovan till
an = n · an−1
Vi avslutar med en rekursiv funktion med en viss användning. Den här rekursiva
funktionen med startvärden s1 = 1 och s2 = 1
sn = 3(2n − 3)sn−1 − (n − 3)sn−2
n
beräknar på hur många sätt man kan sätta ut parenteser när man har n objekt (x).
Det är inte tillåtet att sätta ut parenteser runt ett enskilt objekt eller flera parenteser
kring samma grupp av objekt. s4 = 11
xxxx (xx)xx x(xx)x xx(xx)
(xxx)x x(xxx) ((xx)x)x (x(xx))x
(xx)(xx) x((xx)x) x(x(xx))
Håkan Strömberg 5 KTH Syd

1 Ange de fyra första talen i den talföljd där
Lösning:
an = 2n
n + 1
a1 = 2·1 = 1 1+1
a2 = 2·2 4 = 2+1 3
a3 = 2·3 3
= 3+1 2
a4 = 2·4 8 = 4+1 5
Svar: 1, 4 3 8 , , 3 2 5
2 Bestäm de fem första talen i den talföljd där
och där a1 = 5
Lösning:
an+1 = an + n
a1 = 5
a2 = a1 + 1 = 7
a3 = a2 + 2 = 10
a4 = a3 + 3 = 14
a5 = a4 + 4 = 19
3 Finn en enkel formel för det n:te elementet an i talföljderna
Lösning:
a) 3, 7, 11, 15, 19, ...
b) 2, 6, 18, 54, . . .
c) 4, 8, 12, 16, . . .
d) 2, 5, 10, 17, 26, ...
a) Differensen mellan talen är 4 och första talet är 3
eller
an+1 = an + 4
an = 4n − 1
b) Nästa tal är 3 gånger föregående och första talet är 2. Först den rekursiva
formeln
och sedan den direkta
an+1 = 3an
an = 2 · 3 n−1
Håkan Strömberg 6 KTH Syd

c) Differensen är 4 och a1 = 4
eller
d) Differensen ökar med 2 och a1 = 2
eller
4 Talet 100 förekommer i talföljden
an+1 = an + 4
an = 4n
an+1 = an + 2n − 1
an = 1 + n 2
an = 20 + 4n
Vilket ordningsnummer har detta tal i följden? Vad är a100?
Lösning:
Vi löser ekvationen
20 + 4n = 100
n = 20
Svar: n = 20, det 20:e talet är 100.
Svar: a100 = 420
5 Bestäm a4 om
a100 = 20 + 4 · 100 = 420
an+1 = (an − 2) 2
och a1 = 5
Lösning:
Det finns på den nivå vi befinner oss inget annat sätt än att bestämma i tur
och ordning a2, a3, a4 för att nå målet.
Talföljden växer snabbt, redan
a6 = 562882766124611619513723649
Detta är ett försök till formel, som åtminstone fungerar för de 5 första talen
an = 2(1 + cos 2 n−1 · arccos 3
2
Men detta ligger låååångt ovanför våra huvuden just nu.
6 Bestäm de första talen i talföljden
Då a1 = 1 och a2 = 2
an+1 = an + an−1
Håkan Strömberg 7 KTH Syd

Lösning:
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34,55...
Detta är antagligen den mest berömda talföljden, kallad Fibonacci talföljd,
som handlar om kaniner! Egentligen ska den starta med a0 = 1.
Man startar med ett par kaniner, en hane och en hona, första månaden, nr 0.
Efter två månader nedkommer de med ett par ungar. Efter två månader finns
då a2 = 2 par. Ungarna behöver 2 månader på sig innan de kan föda egna
ungar. Däremot föder det äldsta paret även månad 3 ett par ungar det finns
nu a3 = 3 par. Månad 4 finns två par som vart och ett föder ett par ungar,
plus ett par som fortfarande är för unga för att bli föräldrar, a4 = 5. Och så
vidare. . .
Denna rekursionsformel kan översättas till en formel som direkt ger an
an =
1 + √ 5
2
n+1
7 Bestäm de fem första talen i talföljden
−
√ 5
an+2 = an+1
an
1 − √ 5
2
där a1 = 1 och a2 = 3
Lösning:
Genom att i tur och ordning beräkna a3, a4, a5 får vi
n+1
1, 3, 3, 1, 1
3
Fortsätter vi att ta fram fler tal får vi
1, 3, 3, 1, 1 1
, , 1, 3, 3, 1, . . .
3 3
och det hela upprepar sig i all oändlighet. Man kan använda denna formel
Fantastiskt eller hur?
an = 9
sin nπ
3
√ 3
8 En talföljd definieras av rekursionsformeln
an+1 = an + 3
där a1 = 10. Ge en formel för direkt beräkning av an
Lösning:
Vi bestämmer några av talen i följden och ser sedan om vi kan hitta något
enkelt mönster:
10, 13, 16, 19, 22, 25, ...
Mönstret är enkelt att finna och vi får formeln
an = 7 + 3n
Håkan Strömberg 8 KTH Syd

9 En talföljd definieras av formeln
an = 4
n−1 3
2
Skriv en rekursionsformel som ger an+1 då vi känner an.
Lösning:
Åter bestämmer vi några tal i följden
4, 6, 9, 27
2
81 243
, , . . .
4 8
Om man multiplicerar det föregående talet med 3 och sedan dividerar med
2, det vill säga
an+1 = 3an
2
Vi måste för dessa formler alltid ge ett startvärde. I detta fall a1 = 4.
10 Bestäm det första talet a1 om
an+1 = an + 2
då a4 = 14
Lösning:
Den här gången får vi arbeta oss bakåt från 14. Det blir inte svårt:
Detta ger alltså a1 = 8
14, 12, 10, 8
11 Skriv texten till ett realistiskt problem som leder till formen
an+1 = 1.05 · an och a1 = 4000
Lösning:
Jag satte in 4000 kr år 1 till 5% ränta. Formeln ger mig hur mycket jag kommer
att ha i kronor nästa år, an+1 om jag har an i år.
12 Vad närmar sig följande talföljd för ett heltal c om vi låter x1 = c
xn+1 =
Lösning:
Vi låter c = 10 och får följande talföljd
c
xn
+ xn
10.0, 5.5, 3.65909, 3.19601, 3.16246,3.16228, ...
När vi jämför det sista talet med √ 10 ≈ 3.16228 förstår vi att denna formel
kan användas för att bestämma
√ c
Talföljden konvergerar snabbt. Redan efter sex tal har vi ett korrekt resultat
med sex siffror.
Håkan Strömberg 9 KTH Syd
2

13 En talföljd definieras genom
sn+1 = sn + (n + 1) 3
där s1 = 1. Beräkna s4 och förklara vad till exempel s50 betyder.
Lösning:
De fyra första talen är
1, 9, 36, 100
Det är inte så lätt att se vad nästa tal kommer att vara genom att bara stirra
på talföljden. Om vi tar fram fler
1, 9, 36, 100, 225, 441,784,1296,2025,3025
blir det kanske inte enklare. Egentligen inte. Vi måste hitta på något och
beräknar skillnaden mellan talen och får då
8, 27, 64, 125, 216
Kanske kan man nu se att detta är lika med
2 3 , 3 3 , 4 3 , 5 3 , 6 3
Med lite fantasi kan man komma fram till att de ursprungliga talen är summan
av talen
1 3 , 1 3 +2 3 , 1 3 +2 3 +3 3 , 1 3 +2 3 +3 3 +4 3 , 1 3 +2 3 +3 3 +4 3 +5 3 , 1 3 +2 3 +3 3 +4 3 +5 3 +6 3 , . . .
Men lätt är det inte.
1 Ange de fyra första talen i den talföljd där
an = 3n − 2
2 Bestäm de fem första talen i talföljden där
och där a1 = 6
an+1 = 2an + 3
3 Beräkna det 12:e talet, det vill säga a12 i följden
n−1 1
an = 5
2
4 Talet 100 förekommer i talföljden
an = n(n + 1) + 10
Vilket ordningsnummer har detta tal i följden?
Håkan Strömberg 10 KTH Syd

5 Finn två olika formler som ger talföljden som börjar
2, 4, 8, . . .
6 Folkmängden i en stad var 250000 år 2000. Ange ett uttryck för folkmängden
Pn där n är antalet år efter 2000 om
1
2
a) ökningen är 5000 personer om året
b) ökningen är 2% om året
Svar: 1, 4, 7, 10
Svar: 6, 15, 33, 69, 141
a1 = 3 · 1 − 2 = 1
a2 = 3 · 2 − 2 = 4
a3 = 3 · 3 − 2 = 7
a4 = 3 · 4 − 2 = 10
a1 = 6
a2 = 2 · 6 + 3 = 15
a3 = 2 · 15 + 3 = 33
a4 = 2 · 33 + 3 = 69
a5 = 2 · 69 + 3 = 141
3 Det är bara att sätta in n = 12 i formeln
1
a12 = 5
2
12−1
4 Vi löser ekvationen, som är av andra graden
= 5
2048
100 = n(n + 1) + 10
100 = n 2 + n + 10
n 2 + n − 90 = 0
n1 = 9
(n2 = −10)
5 En formel, som man direkt kommer att tänka på är
an = 2 n
Men en annan? På internet kan man finna åtminstone 1000 lösningar. Nästan
alla faller utanför vår ’ram’. En möjlighet är
an = n 2 − n + 2
Håkan Strömberg 11 KTH Syd

Hur kommer man fram till det? Det finns alltid ett polynom med tillräckligt
gradtal, som går genom givna punkter (1, a1), (2, a2), . . .(n, an). I vårt fall
har vi tre tal, som ger tre punkter. (1, 2), (2, 4), (3,8) Då finns det ett andragradspolynom,
p(x) = ax 2 + b x + c, som går genom dessa punkter. Vi får
nu följande ekvationssystem.
eller utskrivet ⎧ ⎨
⎩
⎧
⎨
⎩
p(1) = 2
p(2) = 4
p(3) = 8
a + b + c = 2
4a + 2b + c = 4
9a + 3b + c = 8
Systemet har följande lösning a = 1, b = −1, c = 2, som ger oss
p(x) = x 2 − x + 2
Testar vi våra punkter ser vi att det stämmer. Nu kan vi skriva en formel
an = n 2 − n + 2
och använda den för att ta fram så många tal vi vill i denna talföljd!
6 a)
eller
där P1 = 250000
b) Gammal skåpmat
Pn = 250000 + 5000n
Pn+1 = Pn + 5000
Pn = 250000 · 1.02 n
Håkan Strömberg 12 KTH Syd