STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 95 – # 99
3.7 NÅGRA VANLIGA DISKRETA FÖRDELNINGAR 95
ANMÄRKNING 3.23
Det är förstås lite onödigt att införa två slumpvariabler för i princip samma
slumpförsök. I viss litteratur skiljer man heller inte på de två utan
använder de två som synonymer, då oftast för fallet att man räknar antal
försök totalt (inklusive det lyckade). I engelskspråkig litteratur används
endast benämning ”Geometric distribution” och syftar då oftast på vad
vi ovan kallar ffg. Man bör alltså vara observant på vad som menas när
dessa fördelningar nämns.
I Figur 3.17 illustreras den geometriska fördelningen för ett par olika p.
Bild saknas
Figur 3.17. Sannolikhetsfunktionen för geometrisk fördelning för några olika val av
p.
EXEMPEL 3.32
Erik lägger en patiens som går ut med sannolikheten 0.01. Han har gett
sig sjutton på att den skall gå ut och fotsätter tills att den gör det. Antalet
patienser han måste lägga X är då ffg(p = 0.01) och chansen att det skall
ske efter exakt 10 försök ges av pX(10) = 0.01 · 0.99 9 = 0.00913. Om
vi i ställer räknar Y som antalet misslyckade försök innan det lyckade är
Y ∼ Geo(p = 0.01) och P (Y = 10) = 0.01 · 0.99 1 0 = 0.00904. Att de
inte blir samma beror ju på att den första sannolikheten är för händelsen
att vi gör 10 försök totalt och den andra att vi gör 10 misslyckade följt av
ett lyckat (att patiensen går ut).
Till skillnad från flera av de tidigare fördelningarna har fördelningsfunktionen
FX(k) (respektive FY (k)) enkla uttryck. Det gäller nämligen att
FX(k) = P (X ≤ k) = 1 − P (X > k), och P (X > k) är detsamma som