STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

94 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
2007-10-08 – sida 94 – # 98
kommer vi se att en rimlig modell för hur e-brev kommer till hennes ebrevlåda
är Poissonprocessen. Denna modell medför att antalet e-brev hon
för en tidsperiod av längd t är Poissonfördelad med parameter λ = 1.8 · t.
a) Vad är chansen att hon får mer än 3 e-brev under en timme?
b) Vad är sannolikheten att hon får högst 10 e-brev under en arbetsdag på
8 timmar? (Använd det närmsta λ i Tabell 3.)
3.7.8 Geometrisk fördelning och besläktade fördelningar
Både för binomialfördelningen och hypergeometrisk fördelning var antalet
försök bestämt (till n). I andra situationer är så inte fallet utan man upprepar
försöket ända tills någon händelse inträffar. Vi har då att göra med geometrisk
fördelning, eller för-första-gångenfördelningen, beroende på vad man räknar.
Antag att ett försök kan utfalla på två sätt, ”lyckat” eller ”misslyckat”.
Antag vidare att chansen för lyckat försök är p och att resultaten av försöken
är oberoende. Detta försök upprepas tills dess att det för första gången blir ett
lyckat försök. Låt X ange antalet försök som erfordras. För att X skall vara
lika med k måste vi således ha k − 1 misslyckade i rad följt av 1 lyckat, och
enligt multiplikationsprincipen blir sannolikheten för detta således q k−1 p där
q = 1 − p. Vi säger att X har för-första-gångenfördelning. Om vi i stället bara
räknar de misslyckade innan det lyckade och kaller detta för Y kommer ju
denna variabel vara 1 mindre än X. Vi får således att P (Y = k) = P (X = k+
1). Denna variabel brukar kallas för en geometriskt fördelad slumpvariabel.
Vi inför nu dessa definitioner.
DEFINITION 3.21 (FÖR-FÖRSTA-GÅNGEN OCH GEOMETRISK FÖRDELNING)
En diskret slumpvariabel X sägs vara för-första-gångenfördelad med parameter
p (0 < p < 1) om sannolikhetsfunktionen ges av
pX(k) = P (X = k) = pq k−1 , k = 1, 2, . . . .
Man skriver X ∼ ffg(p).
En diskret slumpvariabel Y sägs vara geometriskt fördelad med parameter
p (0 < p < 1) om sannolikhetsfunktionen ges av
pY (k) = P (Y = k) = pq k , k = 0, 1, 2, . . . .
Man skriver Y ∼ Geo(p).