STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

92 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
SATS 3.16
Om Z ∼ Po(λ) gäller
BEVIS
E(Z) = λ,
V (Z) = λ,
D(Z) = λ.
2007-10-08 – sida 92 – # 96
Vi har E(Z) = ∞
k=0 kλk e −λ /k! = λ ∞
k=1 λk−1 e −λ /(k − 1)! = λ, där
den sista likheten följer av att man genom att byta summationsindex ser
att vi summerar alla sannolikheter för en Po(λ)-fördelningen vilket således
blir 1. På liknande sätt visar man att E(Z 2 ) blir λ 2 + λ genom att i
summauttrycket skriva k 2 som k(k − 1) + k och summera termerna var för
sig. Variansen blir således V (Z) = E(Z 2 ) − (E(Z)) 2 = λ 2 + λ − λ 2 = λ
vilket visar vad satsen påstår. Standardavvikelsen fås som vanligt genom
att beräkna roten ur variansen.
Fördelningsfunktionen FZ(k) för Poissonfördelningen finns tabulerad för ett
antal värden på λ längst bak i boken (Tabell 3 på sidan ??). T.ex. ser man
där att om Z ∼ Po(λ = 6) gäller FZ(7) = 0.7440. Sannolikhetsfunktionen
pZ(k) får man med hjälp av relationen pZ(k) = FZ(k) −FZ(k −1), eller förstås
genom formeln för sannolikhetsfunktionen direkt. Tabellen är gjord för
att underlätta beräkningar av fördelningsfunktionen då man ju måste summera
sannolikhetsfunktionen för ett utfall upp till efterfrågat värde. Om man har
ett λ som ligger mellan två λ-värden i Tabell 3 bör man utföra beräkningarna
med miniräknare eller dator. Om ett mindre fel inte spelar någon roll
kan man förstås alternativt titta i tabellen för närmaste värde på λ. Om man
har ett λ som är större än det största som finns i Tabell 3 (λ=15) kan Poissonfördelningen
approximeras med normalfördelningen. Mer om hur denna
approximation sker, och lite om dess bakomliggande orsak, finner du i Avsnitt
3.14 på sidan 165.
EXEMPEL 3.31
Antalet gånger en stor produktionsmaskin går sönder under ett år Z kan
med god approximation beskrivas av en Poissonfördelning med väntevär-