STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 89 – # 93
3.7 NÅGRA VANLIGA DISKRETA FÖRDELNINGAR 89
”drar” 5 kort, och totalt finns 13 hjärter. Chansen att t.ex. få tre hjärter blir
då
P (X = 3) =
1339 3 2
52 5
=
13·12·11 39·38
3·2·1 2·1
52·51·50·49·48
5·4·3·2·1
= 0.0815,
vilket visats tidigare. Förväntat antal hjärter blir E(X) = 5 13
52 = 1.25,
variansen blir V (X) = 5 · 0.25 · 0.75 47
51 = 0.0864 och standardavvikelsen
blir D(X) = V (X) = 0.930.
Den hypergeometriska fördelningen förekommer således när vi studerar
egenskaper hos element eller individer i ändliga populationer. Detta gäller
således de flesta biologiska populationer, medan mer abstrakta populationer
som t.ex. populationen bestående av alla potentiella mätningar av någonting
är oändlig och då är binomialfördelningen den relevanta. Det som skiljer binomialfördelningen
från hypergeometrisk fördelning är att för binomialfallet
är chansen för ”lycket” densamma hela tiden, oberoende av tidigare dragning,
medan chansen för ”lyckat” efter hand ändras i det hypergeometriska
fallet, och hur det ändras beror på tidigare dragningar.
Om vi har en ändlig population men lägger tillbaka det dragna elementet
innan vi drar ett nytt har vi samma sannolikhet för lyckat i varje dragning,
och denna sannolikhet beror inte på tidigare dragningar. Vi har således även
då att göra med binomialfördelningen. Av denna anledning brukar man man
säga att binomialfördelningen handlar om dragning med återläggning medan
hypergeometrisk handlar om dragning utan återläggning.
Om vi har en stor population och drar utan återläggning så ändras sannolikheten
för lyckat beroende på tidigare dragningar, men dock inte så mycket.
Om vi t.ex. ska dra två element bland hundra varav 50 är ”lyckade” så är chansen
att få lyckat i andra dragningen 49/99 ≈ 0.495 respektive 50/99 ≈ 0.505
beroende på om vi fick lyckat i första dragningen eller inte, vilket inte är någon
större skillnad. Dessutom är de två fördelningarnas väntevärden desamma,
och om populationen (N) är stor är varianserna också nästa lika. Man
kan därför kanske ana att hypergeometrisk fördelning liknar binomialfördelningen
i detta fall. stämmer och kommer att tas upp senare i Avsnitt 3.14 på
sidan 165 då vi diskuterar approximationer av olika fördelningar.
ÖVNING 3.32
En urna innehåller 10 bollar varav 4 är röda och 6 vita och Vilma ska dra
tre bollar utan återläggning. Låt X beteckna antalet röda bollar som Vilma
får.