STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

88 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
SATS 3.15
Om X ∼ Hyp(N, n, m) gäller
E(Y ) = np,
N − n
V (Y ) = np(1 − p)
N − 1 ,
N − n
D(Y ) = np(1 − p)
N − 1 ,
där p = m/N är andelen lyckade.
2007-10-08 – sida 88 – # 92
ANMÄRKNING 3.21
Faktorn (N −n)/(N −1) brukar kallas ändlighetskorrektion. Anledningen
är att den går mot 1 ju större populationen N är, och den spelar således
bara någon väsentlig roll om andelen element som dras (n/N) inte är
försumbar.
BEVIS
Det gäller att
E(X) =
k
k
= n m
N
mN−m k n−k
N n
m−1N−m
k
k−1
N−1
n−1
= m
n−k
k
m−1N−m k−1 n−k
N n
= n m
N .
Den sista likheten följer av att vi summerar sannolikheterna för en
Hyp(N − 1, n − 1, m − 1) vilket blir 1. Beviset för variansen sparas till
Övning 3.34.
EXEMPEL 3.30
En pokerspelare får fem kort och hoppas på sin favoritfärg hjärter. Om
vi låter Y beteckna antalet hjärter bland de fem korten betyder det att
X ∼ Hyp(N = 52, n = 5, m = 13) eftersom det finns 52 kort, spelaren