STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 87 – # 91
3.7 NÅGRA VANLIGA DISKRETA FÖRDELNINGAR 87
ANMÄRKNING 3.19
Om n > m eller n > N − m, dvs. att vi drar fler element än det finns
lyckade eller misslyckade, kan X inte anta alla värden från 0 till n, varför
vi i sådana fall kan inskränka antalet möjliga utfall. T.ex. kan ju om m = 1
X aldrig blir större än 1 även om vi drar fler element. Som tur är behöver
vi inte oroa oss för det eftersom sannolikheten ovan i dylika fall blir 0
(t.ex. är 1 2 = 0).
ANMÄRKNING 3.20
Binomialkoefficienterna ovan kan vara numeriskt instabila om N är stor
(t.ex. ≥ 15). Man får då förenkla uttrycken eftersom flertalet faktorer tar
ut varandra i täljare och nämnare.
För att försäkra oss om att det verkligen är en sannolikhetsfunktion bör vi
checka att sannolikheterna för de olika utfallen summerar sig till 1, dvs. att
mN−m N mN−m k k n−k / n = 1, vilket är detsamma som att visa att k k n−k =
N n . Det senare är emellertid en väljkänd kombinatorisk likhet. Vi hoppar
därför över dess bevis. I ord säger den att, för att välja n bland N måste vi
välja k bland de m första och resterande n − k bland de N − m övriga, för
något k.
I inledningen av avsnittet förklarades en situation då den hypergeometriska
fördelningen uppstår. Detta kan lätt generaliseras som ett allmänt resultat
vilket beskrivs i följande sats.
SATS 3.14
Antag att en mängd innehåller N element, varav m (0 ≤ m ≤ N) är
lyckade och N − m är misslyckade. Antag vidare att vi drar n element
helt slumpmässigt utan återläggning, dvs. utan att lägga tillbaka elementen
mellan dragningarna. Om vi låter X ange antalet lyckade element vi drar
så är X ∼ Hyp(N, n, m).
Vi härleder nu momenten för hypergeometrisk fördelning.