STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

86 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
2007-10-08 – sida 86 – # 90
således en ändlig mängd element och varje enhet är en av två sorter (lyckadmisslyckad,
svart-vit, sjuk-frisk, ...). När man tar ett element ändras de kvarvarande
proportionerna lyckade och misslyckade vilket gör att motsvarande
sannolikheter ändras.
Ett konkret exempel är om vi har en vanlig kortlek med 52 kort. Antag att
vi samlar på hjärter och skall dra fem kort. Vad är chansen att det blir t.ex.
tre hjärter? Eftersom sannolikheten för hjärter i respektive dragning beror på
vad vi fått i tidigare dragningar skulle vi kunna erhålla sannolikheten genom
att betinga med avseende om vi får hjärter eller ej i respektive dragning, lite
på samma sätt som i Figur 2.5 på sidan 21 när vi drog två kort och beräknade
chansen att få ett ess i respektive dragning. Detta är dock en mödosam
väg eftersom vi i detta fall måste göra fyra betingningar innan vi kan beräkna
sannolikheten att få hjärter sista kortet vi drar. Ett betydligt enklare sätt
att beräkna sannolikheten att få tre hjärter är genom att konstatera att varje
uppsättning av fem kort har samma sannolikhet. Vår kortdragning är således
likformig bland alla uppsättningar med 5 kort. Svaret på frågan är således
antal sätt som man kan dra 5 kort ur en kortlek så att 3 blir hjärter dividerat
med antal sätt totalt som man kan dra 5 kort (se Klassiska sannolikhetsdefinitionen,
Sats 2.2 på sidan 11). Antalet sätt att välja ut 5 kort bland 52 vet vi
sedan tidigare att det är 52 5 . Men på hur många sätt kan vi göra det så att 3
blir hjärter (och två icke-hjärter)? Jo, då måste vi välja de tre hjärterna bland
de 13 som finns ( 13 39 3 sätt) och så övriga två bland icke-hjärter ( 2 sätt).
Dessa kan ju kombineras hur man vill, så svaret är att vi kan välja tre hjärter
på 1339 3 2 = 211926 sätt. Vi har således kommit fram till att sannolikheten
att få 3 hjärter när vi drar 5 kort ur en kortlek är 1339 52 3 2 / 5 = 0.0815.
Om vi ersätter kortlekens storlek 52 med N, ursprungligt antal lyckade
med m (13 i kortexemplet) och antalet dragna element med n får vi en allmän
fördelning som vi nu definierar.
DEFINITION 3.19 (HYPERGEOMETRISK FÖRDELNING)
En diskret slumpvariabel X sägs vara hypergeometriskt fördelad med parametrar
N, n och m (heltal där 0 ≤ n ≤ N och 0 ≤ m ≤ N) om sannolikhetsfunktionen
ges av
pX(k) = P (X = k) =
Man skriver X ∼ Hyp(N, n, m).
mN−m k n−k
N n
, k = 0, . . . , n.