STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

84 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
2007-10-08 – sida 84 – # 88
Y ∼ Bin(n = 4, p = 0.7) och dessa är oberoende. Uppgift a består alltså
av att beräkna P (X = 4) vilket vi gör på två sätt. Dels kan man göra det
direkt från sannolikhetsfunktionen: P (X = 4) = 7 4 0.740.33 = 0.227.
Man kan i stället använda Tabell 2 även om det just i detta fall inte blir
lättare. Eftersom p = 0.7 som är större än 0.5 och således inte finns med i
tabellen så betraktar vi i stället antalet misslyckade 7 − X som är Bin(n =
7, p = 0.3). Vi får P (X = 4) = P (7 − X = 7 − 4) = P (7 − X = 3).
Det är dock inte sannolikhetsfunktionen utan fördelningsfunktionen som
finns tabulerad, så vi utnyttjar följande likhet: P (7−X = 3) = P (7−X ≤
3) − P (7 − X ≤ 2). Från Tabell 2 kan vi läsa av dessa värden och ser att
vi får P (X = 4) = P (7 − X ≤ 3) − P (7 − X ≤ 2) = 0.8740 − 0.6471 =
0.2269.
I b) vill vi beräkna P (Y ≥ 3). ”Minst tre lyckade” är detsamma som
”högst en misslyckad”, dvs. P (Y ≥ 3) = P (4−Y ≤ 4−1) = P (4−Y ≤ 1).
Antalet misslyckade dag 2, dvs. 4 − Y , är Bin(n = 4, p = 0.3), så från
Tabell 2 får vi 0.6517. Vi hade även kunnat räkna ut denna sannolikhet:
P (Y ≥ 3) = P (Y = 3) + P (Y = 4) = 4
3 0.730.31 4
+ 4 0.740.30 =
0.4116 + 0.2401 = 0.6517.
För c) använder vi Sats 3.13 ovan. Denna medför att Z = X + Y , antalet
lyckade totalt på de två dagarna, är Bin(n = 11, p = 0.7) (eftersom vi
totalt har 11 hårtstrån och varje sekvensering lyckas med sannolikhet 0.7
är ju detta inget förvånande). Vi får att P (Z ≤ 6) = P (11−Z ≥ 11−6) =
P (11−Z ≥ 5) = 1−P (11−Z ≤ 4), och denna är enligt Tabell 2 lika med
0.7897 (11 − Z ∼ Bin(n = 11, p = 0.3)). Även denna sannolikhet hade
vi kunnat räkna ut med hjälpa av sannolikhetsfunktionen: P (11 − Z ≤
4) = 4 k=0 P (11 − Z = k), men eftersom detta tar någon minut med en
miniräknare kommer tabellen väl till pass.
ÖVNING 3.27
Låt X ∼ Bin(n = 12, p = 0.15). Bestäm
a) E(X) och D(X)
b) P (X ≤ 1)
c) P (X ≥ 3)
d) P (X = 4)
ÖVNING 3.28
Låt Y ∼ Bin(n = 16, p = 0.75). Bestäm