STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar
STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar
STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
2007-10-08 – sida 83 – # 87<br />
3.7 NÅGRA VANLIGA DISKRETA FÖRDELNINGAR 83<br />
det ursprungliga p:et. Detta resultat är ganska användbart varför vi formulerar<br />
det som en sats.<br />
SATS 3.12<br />
Om X är Bin(n, p) så gäller att Y = n − X är Bin(n, 1 − p).<br />
Hur gör man då om varken p eller 1 − p finns i Tabell 2? Om n är litet<br />
(mindre än t.ex. 5) bör man räkna exakt <strong>med</strong> miniräknare eller dator. Har man<br />
tillgång till dator <strong>med</strong> lämplig mjukvara behöver man för den delen aldrig använda<br />
Tabell 2. För lite större n kan man ju beräkna eftersökt sannolikhet <strong>med</strong><br />
närmast mindre <strong>och</strong> närmast större p vilket ger begränsningar på sannolikheten,<br />
möjligen kan man även våga sig på en linjär interpolation för att få en<br />
approximation av eftersökt sannolikhet. Om i stället n är stort (Tabell 2 går<br />
upp till n = 20) kan binomialfördelningen approximeras <strong>med</strong> någon annan<br />
fördelning (normalfördelningen eller Poissonfördelningen). Mer om detta i<br />
Avsnitt 3.14 på sidan 165.<br />
Om man först gör n1 oberoende upprepningar av ett försök <strong>med</strong> sannolikhet<br />
p för lyckat, <strong>och</strong> därefter gör n2 nya upprepningar av samma försök (<strong>med</strong><br />
samma sannolikhet p för lyckat) så har vi tillsammans n1 + n2 upprepningar<br />
av ett försök, så antalet lyckade totalt bör ju vara Bin(n1 + n2, p). Att så verkligen<br />
är fallet följer av Sats 3.13 nedan. Vi har ännu inte alla verktyg för att<br />
bevisa satsen utan sparar detta till Exempel 3.45 på sidan 142.<br />
SATS 3.13<br />
Låt X ∼ Bin(n1, p) <strong>och</strong> Y ∼ Bin(n2, p) vara oberoende slumpvariabler.<br />
Då gäller att Z = X + Y ∼ Bin(n1 + n2, p).<br />
Vi avslutar delavsnittet <strong>med</strong> ett exempel där vi använder resultaten ovan samt<br />
även redogör för hur Tabell 2 används.<br />
EXEMPEL 3.29<br />
En DNA sekvenator lyckas sekvensera ett hårstrå <strong>med</strong> sannolikhet 0.7<br />
vid varje försök, <strong>och</strong> olika försök lyckas oberoende av varandra. Dag 1<br />
sekvenseras 7 hårstrån <strong>och</strong> dag 2 sekvenseras 4 hårstrån. Antag att vi vill<br />
beräkna chansen att a) exakt 4 hårstrån lyckas dag 1, b) att minst 3 lyckas<br />
dag 2, <strong>och</strong> c) att högst 6 lyckas totalt. Låt X vara antal som lyckas dag 1<br />
<strong>och</strong> Y antal som lyckas dag 2. Då gäller att X ∼ Bin(n = 7, p = 0.7) <strong>och</strong>
Change language