STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

82 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
BEVIS
2007-10-08 – sida 82 – # 86
E(Y ) = n k=1 k n
k pk (1 − p) n−k (termen för k = 0 kan tas bort eftersom
dess bidrag blir 0). Men,
n n!
k = k
k k!(n − k)! =
n − 1
= n .
k − 1
n!
(k − 1)!(n − k)!
Om vi dessutom bryter ut ett p får vi således
E(Y ) = np
n
k=1
n − 1
p
k − 1
k−1 (1 − p) n−k .
(n − 1)!
= n
(k − 1)!(n − k)!
Om vi skiftar summationsindex ett steg nedåt ser vi att summan utgör alla
termer för en Bin(n−1, p) variabel som alltså summerar sig till 1. Av detta
får vi att E(Y ) = np. För att härleda variansuttrycket behöver vi beräkna
E(Y 2 ) som kan skrivas som
E(Y 2 ) =
=
n
k 2
n
p
k
k (1 − p) n−k
n
n
k(k − 1) p
k
k (1 − p) n−k +
k=1
k=1
n
n
k p
k
k (1 − p) n−k .
Den andra termen blir np enligt ovan och den första kan man visa att den
blir n(n − 1)p 2 på liknande sätt och överlåts till läsaren (Övning 3.30).
Det kan ta lite tid att räkna ut sannolikheterna ovan med en miniräknare.
Om n (och k) är lite större finns även viss fara för avrundningsfel eftersom
vi då multiplicerar mycket stora tal med mycket små. Än mer tidsödande
blir det att beräkna fördelningsfunktionen. Av denna anledning finns
fördelningsfunktionen för binomialfördelningen tabulerad längst bak i boken
(Tabell 2 på sidan ??). Tabellen finns för n = 2 upp till n = 20 och för
p = 0.05, 0.1, 0.15, 0.2, 0.25, 0.3, 0.4 och p = 0.5. T.ex. får man ur Tabell
2 att om X är Bin(n = 10, p = 0.3) så gäller att FX(5) = 0.9527. Om man
har ett p som är större än 0.5 kan tabellen ändå kanske användas. Genom att
räkna antalet ”misslyckade” i stället för antalet ”lyckade” får man nämligen
också en binomialfördelning med samma n, men med nytt p som är 1 minus
k=1