STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar
STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar
STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
80 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER<br />
2007-10-08 – sida 80 – # 84<br />
X ange din turordning. Då gäller att X är diskret likformigt fördelad på<br />
1, . . . , 20. Din förväntade turordning blir (20+1)/2 = 10.5 <strong>med</strong> standardavvikelse<br />
(20 + 1)(20 − 1)/12 ≈ 5.76.<br />
ÖVNING 3.26<br />
Låt X vara ett slumpmässigt heltal mellan 1 <strong>och</strong> 100. Ange sannolikhetsfunktionen<br />
för X <strong>och</strong> beräkna väntevärde <strong>och</strong> standardavvikelse.<br />
3.7.5 Binomialfördelning<br />
En situation som ofta dyker upp i olika <strong>tillämpningar</strong> är att ett försök som<br />
kan sluta på två möjliga sätt, lyckat eller misslyckat, upprepas ett bestämt<br />
antal gånger. Antag att försöket upprepas n ≥ 1 oberoende gånger <strong>och</strong> att<br />
ett enskilt försöket blir lyckat <strong>med</strong> sannolikhet p. Låt Y vara slumpvariabeln<br />
som anger hur många försök som lyckas (bland de n försöken). Vi ska nu<br />
härleda sannolikhetsfunktionen pY (k) för k = 0, . . . , n; för övriga heltal är<br />
sannolikhetsfunktionen förstås 0. Att inget av försöken lyckas har sannolikhet<br />
pY (0) = (1 − p) n eftersom försöken är oberoende <strong>och</strong> misslyckas <strong>med</strong><br />
sannolikhet 1 − p. Att exakt ett försök lyckas kan ske på olika sätt. Om vi<br />
låter de n försökens resultat betecknas <strong>med</strong> L eller M beroende på om det är<br />
lyckat eller misslyckat kan vi fått 1 lyckat på följande sätt: (LMM . . . M),<br />
(MLMM . . . M), (MMLM . . . M), . . ., (MM . . . ML), dvs. n olika sätt<br />
beroende på vilken gång det misslyckade inträffade. Vart <strong>och</strong> ett av dessa<br />
scenarier har sannolikhet p(1 − p) n−1 eftersom ett försök lyckas <strong>och</strong> resterande<br />
n − 1 misslyckas Totalt får vi således pY (1) = np(1 − p). Mer allmänt<br />
kan vi få k av n lyckade på många olika sätt. Hur många sätt detta kan ske<br />
på har vi faktiskt redan gått igenom i Avsnitt 2.4 på sidan 16. Där visades<br />
nämligen att man kan välja ut k bland n på n k antal sätt. Varje sådant val<br />
har sannolikheten pk (1 − p) n−k eftersom k försök ska lyckas <strong>och</strong> n − k misslyckas.<br />
Totalt får vi således den allmänna formeln pY (k) = n k pk (1 − p) n−k ,<br />
k = 0, 1, . . . n. Denna fördelning dyker upp i många sammanhang <strong>och</strong> kallas<br />
binomialfördelningen.
Change language