STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

SATS 3.10
2007-10-08 – sida 79 – # 83
3.7 NÅGRA VANLIGA DISKRETA FÖRDELNINGAR 79
För en slumpvariabel X med diskret likformig fördelning på 1, . . . , n gäller
BEVIS
n + 1
E(X) =
2 ,
(n + 1)(n − 1)
V (X) = ,
12
(n + 1)(n − 1)
D(X) =
,
12
n − 1
R(X) =
3(n + 1) .
Från definitionen av väntevärde får vi
E(X) =
n
kpX(k) = (1 + . . . + n)/n = (n + 1)/2.
k=1
Den sista likheten erhölls från relationen 1 + . . . + n = n(n + 1)/2. För
variansen beräknar vi
n
k 2 pX(k) = 12 + . . . + n2 n
k=1
= n2
3
n 1
+ +
2 6 .
Den sista likheten följer av relationen 1 2 + . . . n 2 = n 3 /3 + n 2 /2 + n/6. Vi
använder nu räkneregeln från Sats 3.5 på sidan 64 och får
V (X) = n2
3
n 1
+ +
2 6 −
n + 1
2
2
,
vilket efter lite förenklingar ger just V (X) = (n + 1)(n − 1)/12.
EXEMPEL 3.28 (Examinationsordning)
I en klass bestående av 20 studenter skall turordningen för muntlig examination
bestämmes med lottens hjälp. 20 lappar numreras från 1 till 20
och läggs i en skål. Du drar en av lapparna utan att titta ner i skålen. Låt