STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

BEVIS
2007-10-08 – sida 77 – # 81
3.7 NÅGRA VANLIGA DISKRETA FÖRDELNINGAR 77
Satsen följer direkt från definitionerna. Variansuttrycket får man med formeln
V (X) =
k k2pY (k) − (E(Y )) 2 = a2p+b 2q − (ap+bq) 2 vilket efter
lite algebra blir formeln ovan när man utnyttjar att q = 1 − p.
ÖVNING 3.25
Ett lotteri kostar en krona att delta i. Med sannolikhet 0.005 tjänar man
100 kr (dvs. man får 101 kr tillbaka) och med resterande sannolikhet förlorar
man insatsen. Låt Z ange nettoresultatet för ett spel. Härled sannolikhetsfunktionen
och beräkna väntevärde och varians.
3.7.3 Bernoullifördelning
Ett viktigt specialfall av tvåpunktsfördelningen är när a = 1 och b = 0.
Man brukar ibland beskriva de två möjliga utfallen som ”lyckat” respektive
”misslyckat”, och lyckat ger värdet 1 och misslyckat värdet 0.
DEFINITION 3.16 (BERNOULLIFÖRDELNING)
En slumpvariabel Z är Bernoullifördelad om P (Z = 0) = pZ(0) = 1 − p
och P (Z = 1) = pZ(1) = p, för något 0 ≤ p ≤ 1. Man skriver detta med
beteckningen Z ∼ Be(p).
ANMÄRKNING 3.17
Bernoullifördelningen är uppkallad efter den schweiziske matematikern
Jakob Bernoulli (1654-1705) som för övrigt hade flera nära släktingar
som också var framstående matematiker.
Som en direkt följd av läges- och spridningsmåtten för tvåpunktsfördelningen
får vi motsvarande resultat för Bernoullifördelningen.
FÖLJDSATS 3.1
Om Z ∼ Be(p) gäller E(Z) = p, V (Z) = p(1 − p) och D(Z) =
p(1 − p).