STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 4 – # 8
4 KAPITEL 2 SANNOLIKHETSTEORINS GRUNDER
delmängd av händelsen B om alla utfall i A också ligger i B. Detta skrivs
som A ⊂ B. Det gäller för övrigt att A ⊂ B om och endast om A ∩ B = A.
Sammanfattningsvis gäller alltså:
⊲ att A inte inträffar skrivs som A c ,
⊲ att minst en av A och B inträffar skrivs A ∪ B,
⊲ att både A och B inträffar skrivs A ∩ B,
⊲ att A men inte B inträffar skrivs A \ B.
EXEMPEL 2.2 (Kortdragning)
För slumpexperimentet att dra ett kort ur en kortlek består utfallsrummet
av Ω = {S1, . . . , S13, H1, . . . , H13, K1, . . ., K13, R1, . . ., R13}
där utfallet S1, betyder spader ess, utfallet H13 hjärter kung osv. Händelsen
A =”klöver” omfattar således utfallen A = {K1, . . ., K13}, händelsen
B =”femma” definieras av B = {S5, H5, K5, R5} och händelsen
C =”klädda kort” (dvs. knekt, dam eller kung) omfattar C = {S11, S12,
S13, H11, . . ., R13}. För dessa händelser gäller A ∪ B = {K1, . . ., K13,
S5, H5, R5}, A ∩ B = {K5}, A c = {S1, . . ., S13, H1, . . ., H13, R1, . . .,
R13} samt A \ B = {K1, . . ., K4, K6, . . . K13}.
Händelserna B och C är oförenliga, ett kort kan ju inte vara en femma och
klätt på samma gång, så B ∩ C = ∅.
EXEMPEL 2.3 (Temperaturmätning)
Låt oss studera ”slumpexperimentet” att man mäter temperaturen en viss
tid på en viss plats. Här definieras utfallsrummet lämpligen som Ω = R,
dvs. alla reella tal (där talen motsvararar temperaturen angiven i grader
Celsius). Det är möjligt att snäva in utfallsrummet, t.ex. är det ju teoretiskt
omöjligt att det är kallare än -273.15. (Om det gäller utomhustemperatur
i skuggan i Sverige kan man nog snäva in Ω ännu mer: kallare än -100
känns inte aktuellt och varmare än 50 dröjer väl ännu några år innan växthuseffekten
ger upphov till – men vi lämnar dessa justeringar därhän.) Om
A =”minusgrader” gäller att A = (−∞, 0), medan händelsen “mellan 10
och 20 grader kallt” blir B = (−20, −10). För A gäller A c = [0, +∞),
dvs. ”plusgrader” (om man räknar in 0 i ”plus”). Det gäller vidare att
A ∪ B = (−∞, 0) och A ∩ B = (−20, −10). De två sistnämnda resultaten
är en direkt följd av att B ⊂ A vilket alltid medför att A ∪ B = A och
A ∩ B = B.