STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

ÖVNING 3.24
2007-10-08 – sida 75 – # 79
3.7 NÅGRA VANLIGA DISKRETA FÖRDELNINGAR 75
Låt X vara en blandning av Y , med sannolikhet p, och Z, med sannolikhet
1 − p.
Visa att V (X) = p · V (Y ) + (1 − p) · V (Z) + p(1 − p) · (E(Y ) − E(Z)) 2 .
Anm. Notera att om E(Y ) = E(Z) så gäller
V (X) = p · V (Y ) + (1 − p) · V (Z).
3.7 Några vanliga diskreta fördelningar
Somliga typer av slumpvariabler dyker upp ofta varför det kan vara bra att
studera dem lite mer i detalj en gång för alla. En diskret slumpvariabels
slumpstruktur bestäms ju av dess fördelningsfunktion (eller dess sannolikhetsfunktion).
Man brukar därför oftast använda ordet ”fördelning” när man
beskriver en viss slumpstruktur. En diskret fördelning är således en fördelning
svarande mot en diskret slumpvariabel och motsvarande för kontinuerlig
fördelning. I detta avsnitt kommer vi att gå igenom ett antal diskreta fördelningar,
beskriva i vilka situationer de kan uppstå, samt härleda egenskaper
för dem.
3.7.1 Enpunktsfördelning
Den enklaste fördelningen får nog sägas vara den som svarar mot en slumpvariabel
”utan slump”, dvs. en slumpvariabel som bara kan anta ett enda värde,
a säg. En sådan fördelning kallas enpunktsfördelning och säges ibland vara
trivial eller urartad.
DEFINITION 3.14 (ENPUNKTSFÖRDELNING)
En slumpvariabel X säges vara enpunktsfördelad med värde a om pX(a) =
P (X = a) = 1.
Det är inte svårt att beräkna läges- och spridningsmått för denna variabel.
SATS 3.8
För en enpunktsfördelad slumpvariabel med värde a gäller E(X) = a,
D(X) = V (X) = 0.