STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

74 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
2007-10-08 – sida 74 – # 78
Eftersom E(Un) = 1 1
2 · 0 + 2 · 2 = 1 kan vi beräkna
E(X) = E
∞
n=1
Un
3 n
=
∞
n=1
E(Un)
3 n
=
∞
n=1
1 1/3 1
= =
3n 1 − 1/3 2 ,
vilket är rimligt av symmetriskäl.
Vidare är V (Un) = E((Un − 1) 2 ) = 1
2 · (−1)2 + 1
2 · 12 = 1, så att
V (X) = V
∞
n=1
Un
3 n
=
∞
n=1
V (Un)
(3n =
) 2
∞
n=1
1 1/9 1
= =
9n 1 − 1/9 8 .
Det finns alltså tre huvudtyper av slumpvariabler: diskreta, (absolut)kontinuerliga
och singulära. Dessutom kan man tänka sig blandningar av
dessa, så att den mest allmänna varianten är
⎧
⎪⎨ Y med sannolikhet p1,
X = Z
⎪⎩
W
med sannolikhet p2,
med sannolikhet 1 − p1 − p2,
där Y är diskret, Z är (absolut)kontinuerlig och W är singulär.
ÖVNING 3.23
I ett visst betjäningssystem finns en betjänare och antalet kunder i systemet,
X, har fördelning
P (X = k) =
k 2
3
· 1
, för k = 0, 1, 2, . . . .
3
Kundernas betjäningstider är oberoende av varandra och exponentialfördelade
med väntevärde 2 minuter.
Betrakta en kund som anländer vid en slumpmässig tidpunkt och låt W
beteckna hennes kötid.
a) Uttryck denna storhet som en blandning av en diskret och en kontinuerlig
variabel.
b) Beräkna väntevärdet för variabeln.(L)