STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

och
2007-10-08 – sida 73 – # 77
⎧
⎪⎨ 0 då t < 0,
FX1 (t) = 1
⎪⎩
2 då 0 ≤ t < 2
3 ,
1 då t ≥ 2
3 ,
3.6 BLANDADE OCH SINGULÄRA FÖRDELNINGAR 73
med F ′
(t) = 0 utom i t = 0 och t = 2/3 där den är odefinierad, så att
X1
F ′
(t) = 0 på hela intervallet (0, 1) utom i två punkter, dvs. på delintervall
X1
av sammanlagd längd 1.
Det största hoppet hos FX1 (t) är 1/2, för t = 0 och t = 2/3.
Steg 2: Låt X2 := U1/3 + U2/32 = X1 + U2/32 .
Då gäller att X2 antar värdena 0, 2/9, 2/3 och 8/9 med sannolikhet 1/4
vardera. Vidare är F ′
(t) = 0 utom i dessa punkter, dvs. på delintervall av
X2
sammanlagd längd 1.
Det största hoppet hos FX2 (t) är 1/4 = (1/2)2 , för t = 0, t = 2/9, t = 2/3
och t = 8/9.
Steg n: Låt Xn = U1/3 + U2/3 2 + · · · + Un/3 n = Xn−1 + Un/3 n .
Då gäller att Xn kan anta 2 n olika värden, alla med sannolikhet (1/2) n .
Detta innebär att F ′
(t) = 0 utom i dessa hoppunkter, dvs. på intervall av
Xn
sammanlagd längd 1 och att samtliga hopp är (1/2) n .
Vi får alltså under hela konstruktionen en fördelning där fördelningsfunktionen
är konstant utom i hoppunkterna, dvs. derivatan är 0 i delintervall
av sammanlagd längd 1 och det största hoppet halveras för varje steg och
går mot 0 då n → ∞.
Låt X∞ beteckna gränsvariabeln då n → ∞. Dess fördelningsfunktion,
FX∞ (t), är uppenbarligen kontinuerlig för alla 0 ≤ t ≤ 1, eftersom hoppens
storlek går mot 0. Vidare har den F ′
(t) = 0 på intervall av sam-
X∞
manlagd längd 1, så att det inte kan finnas någon täthetsfunktion.
En Cantorfördelad slumpvariabel kan alltså skrivas
X =
∞
n=1
Un
,
3n där Un är oberoende och 0 eller 2 med samma sannolikhet.
Observera att alla tal 0 ≤ x ≤ 1 kan skrivas decimalt i bas 3 som
x =
∞
n=1
cn
,
3n där cn är 0, 1 eller 2.