STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

72 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
3.6.2 * Singulära fördelningar
2007-10-08 – sida 72 – # 76
De fördelningar som vi kallat kontinuerliga i Avsnitt 3.4 bör egentligen kallas
absolutkontinuerliga. Det finns nämligen fördelningsfunktioner F (t) som är
kontinuerliga, men inte kan skrivas på formen
F (t) =
t
−∞
f(x) dx (3.5)
för någon täthetsfunktion f(x).
Motsvarande fördelningar är alltså inte (absolut)kontinuerliga, men inte heller
diskreta eftersom F(t) är kontinuerlig och alltså saknar hopp. De kan inte
heller vara blandningar av diskreta och kontinuerliga fördelningar.
Vi påminner om att det för absolutkontinuerliga fördelningar gäller att
täthetsfunktionen f kan skrivas som derivatan av fördelningsfunktionen F ,
f(t) = F ′ (t) i alla punkter där f(t) är kontinuerlig.
DEFINITION 3.13 (SINGULÄR FÖRDELNING)
En slumpvariabel sägs ha en singulär fördelning om fördelningsfunktionen
F (t) är kontinuerlig men inte kan uttryckas på formen (3.5) för någon
täthetsfunktion f.
Lyckligtvis är singulära fördelningar sällan förekommande och läsaren
kommer knappast att stöta på någon i något praktiskt sammanhang. För fullständighets
skull visar vi ändå med ett exempel att de faktiskt existerar.
EXEMPEL 3.26 (Cantorfördelning)
Vi konstruerar den singulära Cantorfördelningen på intervallet (0, 1) som
ett gränsvärde.
Låt U1, U2, . . . vara en oändlig följd oberoende likafördelade slumpvariabler
med P (Ui = 0) = P (Ui = 2) = 1/2.
Vi genomför konstruktionen stegvis.
Steg 1: Låt X1 := U1/3.
Då gäller att
X1 =
0 med sannolikhet 1
2 ,
2
3
1
med sannolikhet 2