STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 71 – # 75
3.6 BLANDADE OCH SINGULÄRA FÖRDELNINGAR 71
Med hjälp av framställningen (3.4) och betingning kan vi beräkna
och
så att
E(X) = 0 · 1 1 a 1 a
+ E(Y ) · = · =
2 2 2 2 4
E(X 2 ) = 0 2 · 1
2 + E(Y 2 ) · 1 a2 1 a2
= · =
2 3 2 6 ,
V (X) = a2
6 −
a
2 =
4
a2 a2 5a2
− =
6 16 48 .
Detta är ett exempel på en blandad fördelning, som varken är diskret eller
kontinuerlig. Allmänt kan vi skriva en blandning som
X =
Y med sannolikhet p,
Z med sannolikhet 1 − p,
där Y och Z har fördelningsfunktioner FY (t) respektive FZ(t). Då gäller
FX(t) = P (X ≤ t) = p · P (Y ≤ t) + (1 − p) · P (Z ≤ t)
= p · FY (t) + (1 − p) · FZ(t).
Om både Y och Z är diskreta blir även X diskret och om både Y och Z
är kontinuerliga så blir även X kontinuerlig.
Det intressanta fallet är, som i trafikljusexemplet 3.25, då Y är diskret och
Z kontinuerlig (eller tvärtom). Då blir X varken diskret eller kontinuerlig,
utan en blandning av dessa.
Väntevärde och varians för X kan beräknas med hjälp av betingning, som
i exemplet.
E(X) = p · E(Y ) + (1 − p) · E(Z),
E(X 2 ) = p · E(Y 2 ) + (1 − p) · E(Z 2 ),
V (X) = E(X 2 ) − (E(X)) 2 .