STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

70 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
ÖVNING 3.21
2007-10-08 – sida 70 – # 74
Ge en övre begränsning på 0.05-kvantilen av en positiv slumpvariabel X
med väntevärde 10.
ÖVNING 3.22
En slumpvariabel Y har väntevärde 0 och varians σ 2 = 4. Ge en uppskattning
av sannolikheten absolutbeloppet |Y | ej överstiger 4.
3.6 Blandade och singulära fördelningar
Vi har studerat diskreta slumpvariabler i Avsnitt 3.2, och kontinuerliga
slumpvariabler i Avsnitt 3.4, men dessa två huvudtyper täcker inte in alla
förekommande typer av slumpvariabler. Till exempel kan man tänka sig
slumpvariabler som är blandningar av diskreta och kontinuerliga variabler.
3.6.1 Blandning av diskret och kontinuerlig fördelning
EXEMPEL 3.25 (Väntetid vid trafikljus)
I en gatukorsning med trafikljus är de röda och gröna perioderna lika
långa, båda a sekunder. Vi bortser från den tid det tar för trafikljusen att
slå om.
Betrakta en bil som anländer till korsningen vid en slumpmässig tidpunkt
och låt X = ”väntetiden till grönt ljus”.
Då gäller uppenbarligen att P (X = 0) = 1/2 eftersom trafikljuset visar
grönt hälften av tiden. Om bilen anländer under en röd period kommer
däremot X att vara en kontinuerlig slumpvariabel med värde i intervallet
(0, a).
Låt Y := X | (X > 0), dvs. väntetiden givet att bilen får vänta. Om
bilen anländer vid en slumpmässigt vald tidpunkt i ett rött intervall gäller
uppenbarligen att P (Y ≤ t) = t/a, så att Y ∼ Re(0, a).
Vi kan beskriva X som
0 med sannolikhet
X =
1
2 ,
Y med sannolikhet 1
2 ,
(3.4)
där Y ∼ Re(0, a), med E(Y ) = a/2 och E(Y 2 ) = a 2 /3.