STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 69 – # 73
b) Beräkna medianen x0.5.
c) Beräkna variansen V (X).
d) Beräkna standardavvikelsen D(X).
e) Beräkna variationskoefficienten R(X)
ÖVNING 3.17
3.5 LÄGESMÅTT OCH SPRIDNINGSMÅTT 69
Betrakta den kontinuerliga slumpvariabeln Y med täthetsfunktion
fY (y) = 2y, 0 ≤ y ≤ 1 (som definierades i Övning 3.12, sidan 56).
a) Beräkna väntevärdet E(Y ).
b) Beräkna medianen y0.5.
c) Beräkna variansen V (Y ).
d) Beräkna standardavvikelsen D(Y ).
ÖVNING 3.18
Man kan visa att för positiva kontinuerliga slumpvariabler gäller även
E(X) = ∞
0 (1 − FX(x)) dx (observera att integralen går från 0 - även
om slumpvariabeln t.ex. bara kan anta värden större än 5). Visa att detta
gäller för Y från föregående uppgift (som definierades i Övning 3.12).
ÖVNING 3.19
Visa att (y1 + . . . yn)/n =
k k ˜pk där ˜pk = #{yi; yi = k, k = 1, . . . n}/n,
dvs. antalet observationer som antar värdet k dividerat med antal observationer.
ÖVNING 3.20
Låt X vara en kontinuerlig slumpvariabel med symmetrisk täthetsfunktion,
dvs. antag att det finns ett tal a sådant att fX(a − y) = fX(a + y)
för alla y. Visa att i så fall är a såväl median som väntevärde (om detta
existerar).