STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar
STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar
STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
2007-10-08 – sida 67 – # 71<br />
3.5 LÄGESMÅTT OCH SPRIDNINGSMÅTT 67<br />
ANMÄRKNING 3.14<br />
Markovs olikhet är uppkallad efter den ryske matematikern Andrei Markov<br />
(1856-1922).<br />
BEVIS<br />
Vi visar olikheten i det kontinuerliga fallet (det diskreta fallet visas analogt).<br />
Från definitionen av väntevärde följer<br />
E(X) =<br />
∞<br />
0<br />
≥ 0 + a<br />
Detta bevisar satsen.<br />
x fX(x) dx =<br />
∞<br />
SATS 3.7 (CHEBYSHEVS OLIKHET)<br />
a<br />
a<br />
0<br />
x fX(x) dx +<br />
fX(x) dx = a P (X ≥ a).<br />
∞<br />
a<br />
x fX(x) dx<br />
Låt Z vara en slumpvariabel <strong>med</strong> ändligt väntevärde µ <strong>och</strong> standardavvikelse<br />
σ. Då gäller, för varje a > 0, att<br />
P (|Z − µ| ≥ a) ≤ σ2<br />
.<br />
a2 ANMÄRKNING 3.15<br />
Chebyshevs olikhet är uppkallad efter den ryske matematikern Pafnutij<br />
Tjebysjov (1821-1894). Olikheten använder den engelska stavningen vilken<br />
ibland även används för personen, även Tjebyshov <strong>och</strong> andra varianter<br />
förekommer.
Change language