STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

66 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
2007-10-08 – sida 66 – # 70
tid bara meningsfullt för positiva slumpvariabler varför definitionen endast
gäller för dessa.
DEFINITION 3.12 (VARIATIONSKOEFFICIENT)
Variationskoefficienten R(X) för en positiv slumpvariabel X definieras
som
R(X) := D(X)
E(X) .
En nackdel med variationskoefficienten är förstås att den bara definieras
för positiva slumpvariabler. En fördel är dock att den som sagt är dimensionslös.
Med detta menas att variationskoefficienten inte påverkas av vilken
enhet slumpvariabeln mäts i utan den ”mäter” standardavvikelsen i termer av
väntevärdet. Om man t.ex. betraktar en slumpvariabel som anger en vikt i kg
blir variationskoefficienten densamma om man övergår till enheten g, medan
standardavvikelsen multipliceras med 1000 när man övergår till g.
Som redan nämnts är standardavvikelsen det vanligaste spridningsmåttet.
EXEMPEL 3.23 (Variansexempel, variationskoefficient )
I Exempel 3.20 och 3.22 beräknades väntevärde respektive standardavvikelse
för en slumpvariabel X till E(X) = 1.57 respektive D(X) =
0.6965. Vi får därmed variationskoefficienten till R(X) = 0.6965/1.57 ≈
0.444.
3.5.3 Olikheter
Vi avslutar detta avsnitt med två olikheter som knyter samman sannolikhetsuttryck
med väntevärde respektive standardavvikelse. Poängen med dessa
är att man kan uttala sig konservativt om sannolikheter, dvs. ge övre gränser
för sannolikheter, när man bara känner till väntevärde/standardavvikelsen
för slumpvariabeln men inte hela dess slumpstruktur.
SATS 3.6 (MARKOVS OLIKHET)
Låt X vara en positiv slumpvariabel (X ≥ 0) med ändligt väntevärde
E(X). Då gäller, för varje a > 0, att
P (X ≥ a) ≤ E(X)
.
a