STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar
STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar
STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
2007-10-08 – sida 65 – # 69<br />
3.5 LÄGESMÅTT OCH SPRIDNINGSMÅTT 65<br />
gäller att <br />
k k2 pY (k) = 0 2 · 0.1 + 1 2 · 0.25 + 2 2 · 0.63 + 3 2 · 0.02 = 2.95.<br />
Väntevärdet beräknades tidigare till E(X) = 1.57. Räkneregeln ger därför<br />
att V (X) = 2.95 − 1.57 2 = 0.4851.<br />
Ett bättre <strong>och</strong> väsentligt mer använt spridningsmått än varians är standardavvikelse.<br />
Skälet att vi trots detta definierat varians först är att standardavvikelsen<br />
definieras <strong>med</strong> hjälp av variansen; man måste alltså beräkna variansen<br />
för att få fram standardavvikelsen.<br />
DEFINITION 3.11 (STANDARDAVVIKELSE)<br />
Standardavvikelsen D(X) för en slumpvariabel X definieras som<br />
D(X) := V (X).<br />
Standardavvikelsen betecknas ofta <strong>med</strong> σX eller σ.<br />
Observera att standardavvikelsen, liksom väntevärde <strong>och</strong> varians är reella<br />
tal till skillnad från slumpvariabeln som antar olika värden vid skilda observationer<br />
(den är ju en funktion på utfallsrummet). Värt att påpeka är även att<br />
standardavvikelsen, liksom väntevärdet men till skillnad från variansen, har<br />
samma enhet som variabeln själv. Om t.ex. slumpvariabeln är en storhet i m<br />
är väntevärde <strong>och</strong> standardavvikelse också det <strong>med</strong>an variansens enhet blir<br />
m 2 . Detta kan sägas vara huvudanledningen till att standardavvikelsen är ett<br />
bättre spridningsmått än variansen.<br />
EXEMPEL 3.22 (Variansexempel, standardavvikelse)<br />
I Exempel 3.20 <strong>och</strong> exempel 3.21 beräknades variansen till V (X) =<br />
0.4851 vilket gör att standardavvikelsen blir D(X) = √ 0.4851 ≈ 0.6965.<br />
Det finns inget entydigt enkelt sätt att relatera standardavvikelsen till hur<br />
mycket en slumpvariabel typiskt kan avvika från sitt väntevärde. Vill man<br />
ändå ha en sådan vägledning kan man inte så sällan använda principen att<br />
slumpvariabeln ofta ligger inom en standardavvikelse från sitt väntevärde<br />
men att större avvikelser förekommer, <strong>med</strong>an avvikelser på mer än två eller<br />
tre standardavvikelser från väntevärdet är sällsynta respektive mycket sällsynta.<br />
Ibland är det av intresse att mäta spridning i relation till slumpvariabelns<br />
storhet. Man får på så sätt ett dimensionslöst mått. Ett dylikt mått är emeller-
Change language