STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

64 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
EXEMPEL 3.20 (Variansexempel)
2007-10-08 – sida 64 – # 68
Antag att Y är diskret med sannolikhetsfunktion pY (0) = 0.1, pY (1) =
0.25, pY (2) = 0.63, samt pY (3) = 0.02. För att räkna ut variansen av
Y måste vi först beräkna väntevärdet E(Y ) =
k kpY (k) = 0pY (0) +
1pY (1) + 2pY (2) + 3pY (3) = 1.57. Variansen blir därför V (Y ) =
k (k −
µ) 2 pY (k) = (−1.57) 2 pY (0)+(−0.57) 2 pY (1)+0.43 2 pY (2)+1.43 2 pY (3) =
0.4851.
Det är betydligt lättare att räkna ut variansen i föregående exempel om
man använder följande matnyttiga resultat.
SATS 3.5 (VARIANSBERÄKNING)
För en slumpvariabel X med väntevärde µX gäller
BEVIS
V (X) = E(X 2 ) − µ 2
X
= E(X 2 ) − (E(X)) 2
=
∞
−∞ x2 fX(x) dx − µ 2
X
, om X är kontinuerlig
k k2 pX(k) − µ 2
X , om X är diskret.
Vi visar satsen i det kontinuerliga fallet; det diskreta visas analogt. Enligt
definitionen av varians gäller
V (X) =
=
∞
−∞
∞
−∞
(x − µ) 2 fX(x) dx =
x 2 fX(x) dx − 2µ
∞
−∞
∞
−∞
(x 2 − 2µx − µ 2 ) fX(x) dx
x fX(x) dx + µ 2
∞
−∞
fX(x) dx.
Den andra integralen blir µ per definition, så hela termen blir −2µ 2 , och
den sista integralen blir 1 eftersom fX(x) är en täthetsfunktion. Detta tillsammans
bevisar satsens påstående.
EXEMPEL 3.21 (Variansexempel, alternativ beräkning)
I föregående exempel (Exempel 3.20) beräknades variansen enligt definitionen.
Vi gör nu detsamma med hjälp av räkneregeln från Sats 3.5. Det