STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 63 – # 67
3.5 LÄGESMÅTT OCH SPRIDNINGSMÅTT 63
För att beräkna medianen löser vi alltså FY (y) = 0.5, dvs 1 − e −y/6 = 0.5.
Detta betyder att e −y/6 = 0.5, dvs. −y/6 = ln(0.5). Om vi förenklar detta
får vi alltså att medianen ges av y0.5 = 6 ln 2 ≈ 4.16.
På liknande sätt får man att första kvartilen löser FY (y) = 0.25 med
lösning y0.75 = 6 ln(1/0.75) ≈ 1.72 samt att tredje kvartilen ges av
lösningen till FY (y) = 0.75 med lösning y0.25 = 6 ln(1/0.25) ≈ 8.32.
Slutligen blir 0.1-kvantilen (tillika 90%-percentilen) lösningen till
FY (y) = 0.9 vilken ges av y0.1 = 6 ln(1/0.1) ≈ 13.8.
3.5.2 Spridningsmått
I förra delavsnittet beskrevs en slumpvariabels kanske viktigaste enskilda
sammanfattande storhet, nämligen lägesmåttet som på ett eller annat sätt
anger ett enskild tal som beskriver hur stor en slumpvariabel ”typiskt” är.
Eftersom det är en slumpvariabel antar ju inte variabeln detta värde alltid. En
relevant fråga är därför hur mycket slump variabeln är behäftad med. Ligger
den t.ex. alltid ganska nära sitt väntevärde eller avviker den ofta mycket från
väntevärdet? När man vill beskriva detta använder man något spridningsmått.
Vi börjar med att definiera varians.
DEFINITION 3.10 (VARIANS)
Variansen V (X) för en slumpvariabel X med väntevärde µ definieras som
V (X) = E((X − µ) 2
k
) =
(k − µ)2 pX(k),
∞
−∞ (x − µ)2 fX(x) dx,
om detta väntevärde är ändligt. Den senare likheten gäller om X är diskret
respektive om X är kontinuerlig och följer av Sats 3.4, sidan 59.
EXEMPEL 3.19 (Tändstickor, varians)
I Exempel 3.6 på sidan 45 beräknades väntevärdet för antal tändstickor i
en tändsticksask till µ = 50. Variansen för antalet tändstickor blir V (X) =
53
k=47 (k − 50)2 pX(k) = (−3) 2 pX(47) + (−2) 2 pX(48) + (−1) 2 pX(49) +
(0) 2 pX(50) + 1 2 pX(51) + 2 2 pX(52) + 3 2 pX(53) = 1.4.