STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 59 – # 63
3.5 LÄGESMÅTT OCH SPRIDNINGSMÅTT 59
antyder. Antag att vi gör ett större antal observationer y1, . . . yn av en diskret
slumpvariabel Y med sannolikhetsfunktion pY (k). Eftersom vi gör många
observationer borde, enligt frekvenstolkningen av sannolikhet (Avsnitt 2.3),
den relativa frekvensen ˜pk av dessa som antar värdet k vara ungefär lika med
motsvarande sannolikhet pk. Medelvärdet ¯y = (y1 + . . . yn)/n kan beräknas
på den alternativa formen ¯y =
k k ˜pk, se Övning 3.19. Från detta får vi alltså
E(Y ) =
k kpY (k) ≈
k k ˜pk = ¯y. En tolkning av väntevärde är således att
det bör ligga nära medelvärdet av många oberoende observationer.
I senare avsnitt kommer vi att studera funktioner av slumpvariabler och
då även intressera oss för väntevärden av dessa. Redan i innevarande avsnitt
behöver vi väntevärdet för kvadratfunktionen varför vi redan nu formulerar
ett viktigt resultat om väntevärdet av funktioner av slumpvariabler.
SATS 3.4 (VÄNTEVÄRDET AV EN FUNKTION AV EN SLUMPVARIABEL)
Låt X vara en slumpvariabel, g(·) en reell funktion och låt slumpvariabeln
Y vara definierad av Y = g(X). Då gäller att
k
E(Y ) = E(g(X)) =
g(k) pX(k) om X är diskret och
∞
−∞ g(x) fX(x) dx om X är kontinuerlig.
BEVIS
Vi bevisar satsen i det diskreta fallet. Beviset i det kontinuerliga är liknande
om än inte identiskt. Kärnan i beviset är att P (g(X) = j) =
P (X = k). Vi får därför
{k;g(k)=j}
E(Y ) =
jP (Y = j) =
jP (g(X) = j)
j
=
j
{k;g(k)=j}
=
g(k)P (X = k).
k
j
jP (X = k) =
j
{k;g(k)=j}
g(k)P (X = k)
Den sista likheten beror på att dubbelsumman till vänster bara är ett annat
sätt att summera över alla möjliga k.
Väntevärdet är det vanligaste lägesmåttet, men även medianen är vanligt
förekommande.