STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

58 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
2007-10-08 – sida 58 – # 62
(eller motsvarande integraler i kontinuerliga fallet) så sägs X sakna väntevärde
om ingen av summorna är konvergenta, medan väntevärdet är
+∞ om E(X − ) är konvergent och E(x + ) ej är konvergent, respektive att
väntevärdet är −∞ om det omvända gäller.
ANMÄRKNING 3.11
Observera att väntevärdet E(X) är ett reellt tal – ett siffervärde (förutsatt
att det existerar). Detta till skillnad från slumpvariabeln själv som ju är
en funktion på utfallsrummet och som kan anta olika värden.
Den fysikaliska tolkningen av väntevärde är tyngdpunkt. Om man ritar upp
tätheten/sannolikhetsfunktionen för en slumpvariabel X är E(X) positionen
som gör att figuren balanserar (se Figur 3.10 nedan).
[Täthetsfunktion med tyngdpunkt inritad]
Figur 3.10. Täthetsfunktionen fX(x) och väntevärdet E(X). Observera att
tyngdpunkten är det värde som gör att figuren ”väger jämt”.
EXEMPEL 3.14 (Tändstickor, väntevärde)
I Exempel 3.6 på sidan 45 definierades en slumpvariabel Z som angav antal
tändstickor i en slumpvis vald tändsticksask Sannolikhetsdefinitionen
definierades av pZ(47) = 0.02, pZ(48) = 0.08, pZ(49) = 0.20, pZ(50) =
0.40, pZ(51) = 0.20, pZ(52) = 0.08, pZ(53) = 0.02 (se Figur 3.4 på sidan
45). Väntevärdet blir för denna slumpvariabel E(Z) =
k kpZ(k) =
47·0.02+48·0.08+49·0.20+50·0.40+51·0.20+52·0.08+53·0.02 = 50.
Om vi tänker i termer av tyngdpunkt bör det inte förvåna att tyngdpunkten
är just 50 (se Figur 3.4). Man kan i själva verket visa att varje slumpvariabel
Y vars fördelning (täthetsfunktion eller sannolikhetsfunktion) är
symmetrisk kring ett tal c har E(Y ) = c förutsatt att väntevärdet existerar.
Förutom att ett väntevärde kan tolkas som en fördelnings tyngdpunkt finns
det också ett nära samband mellan väntevärde och medelvärde som vi nu