STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 57 – # 61
3.5 Lägesmått och spridningsmått
3.5.1 Lägesmått
3.5 LÄGESMÅTT OCH SPRIDNINGSMÅTT 57
En slumpvariabels värde är ju slumpmässigt så man kan därför inte entydigt
säga att en den är stor eller liten. Likväl vill man ofta kunna uttala sig om
en slumpvariabel är stor eller inte – inte minst vid jämförelse av olika flera
slumpvariabler. Eftersom en slumpvariabel kan anta olika värden måste man
på något sätt väga in sannolikheten för olika värden för att beskriva om den
är stor eller inte. Detta kan göras på olika sätt och man brukar kalla dessa
storheter för lägesmått. Det vanligaste lägesmåttet är väntevärde.
DEFINITION 3.7 (VÄNTEVÄRDE)
Väntevärdet för en slumpvariabel X betecknas med E(X), µX, eller bara µ
om det inte kan förväxlas med andra väntevärden, och är ett reellt tal. För
en diskret slumpvariabel definieras det som
E(X) =
k · pX(k), (3.2)
och för en kontinuerlig som
E(X) =
k
∞
−∞
x · fX(x) dx. (3.3)
Väntevärdet för en funktion g(·) av en slumpvariabel X betecknas
E(g(X)) och definieras analogt som E(g(X)) =
k g(k)pX(k), respektive
E(g(X)) = g(x)fX(x)dx.
ANMÄRKNING 3.10
Definitionen gäller endast om summan/integralen är absolut-konvergent,
dvs. om
k |k|pX(k) < ∞ respektive ∞
−∞ |x| fX(x) dx < ∞. Om summan/integralen
är oändlig sägs X sakna väntevärde. Fallet att X saknar
väntevärde kan i själva verket delas upp i olika fall. Om man betraktar de
negativa och positiva delarna av utfallen var för sig och tittar på
E(X − ) =
kpX(k) och
k0