STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 55 – # 59
3.4 KONTINUERLIGA SLUMPVARIABLER 55
λX(t) = 2. Om X symboliserar tiden till en viss händelse (t.ex. att en maskinkomponent
går sönder) tolkas detta som att risken att komponenten,
som ännu ej gått sönder, går sönder inom en kort tid h är 2h, och att detta
gäller oberoende av hur gammal komponenten är. Det speciella med exponentialfördelningen
är f.ö. just att intensiteten är konstant vilket brukar
formuleras som att den är minneslös. Vad gäller komponenten betyder det
att den inte åldras eftersom den inte får ökad risk att gå sönder ju äldre
den är.
Vi har nu stött på såväl diskreta som kontinuerliga slumpvariabler och sett
att de behandlas olika matematiskt. Framför allt gäller att det som skrivs som
summor för diskreta slumpvariabler i stället blir integraler för kontinuerliga
slumpvariabler. Integraler definieras f.ö. som gränsvärden av summor. Av
detta kan man ana att en diskret slumpvariabel med många olika möjliga utfall
ofta kan approximeras av någon kontinuerlig slumpvariabel. Vi illustrerar
detta med ett exempel.
EXEMPEL 3.13
Vid kvalitetskontroll av en datorserver görs mätningar av tid att expediera
elektronisk post. Den sanna tidsåtgången kan beskrivas av en (positiv)
kontinuerlig slumpvariabel X med någon viss fördelning fX(t). Mätningarna
görs bara med viss noggrannhet och den uppmätta tidsåtgången kan
därför beskrivas av en diskret slumpvariabel Y med sannolikhetsfunktion
pY (y). Om vi t.ex. antar att noggrannheten är mikrosekunder och vi anger
tiden i millisekunder, så är täthetsfunktionen för X och sannolikhetsfunktionen
för Y relaterade på följande vis:
pY (y) =
y+0.0005
y−0.0005
fX(t)dt,
för y ≥ 0 angivet med tre decimaler, t.ex. y = 1.279. Som exempel följer
det av det approximativa sambandet mellan summor och integraler att
P (1.350 ≤ X ≤ 2.484) =
2.484
1.350
fX(t)dt ≈
2.484
y=1.350
pY (y).
Trots att X är kontinuerlig och Y är diskret är de två slupvariablerna alltså
approximativt lika varför det inte spelar så stor roll vilken man betraktar.
Tur är väl det, eftersom de flesta saker man gör mätningar av är diskreta
approximationer av kontinuerliga ting.