STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar
STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar
STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
54 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER<br />
2007-10-08 – sida 54 – # 58<br />
[Täthetsfunktion <strong>och</strong> P (a ≤ X ≤ b) inritad]<br />
Figur 3.9. En täthetsfunktion fX(x). I figuren är P (a < X < b) = b<br />
a fX(x) dx<br />
markerad som arean av det skuggade området.<br />
samt på ”> <strong>och</strong> ”≥”, <strong>och</strong> således gäller t.ex. P (a ≤ X ≤ b) = P (a < X < b)<br />
vilket gör att man inte behöver vara lika noggrann <strong>med</strong> dessa som i det diskreta<br />
fallet där likheten inte gäller.<br />
I vissa sammanhang brukar man för kontinuerliga slumpvariabler prata<br />
om intensiteter, speciellt gäller detta för tidpunkter till händelser vilket således<br />
rör positiva slumpvariabler. Man menar <strong>med</strong> detta sannolikheten för att<br />
något skall inträffa i ett litet intervall betingat av att det ännu inte inträffat.<br />
Mer precist har vi följande definition.<br />
DEFINITION 3.6 (INTENSITET)<br />
Låt X vara en kontinuerlig slumpvariabel <strong>med</strong> täthetsfunktion fX(t) <strong>och</strong><br />
fördelningsfunktion FX(t). Då definieras intensiteten λX(t) för X som<br />
λX(t) = fX(t)<br />
1 − FX(t) .<br />
ANMÄRKNING 3.9<br />
Uttrycket i nämnaren härrör från att man betingar på X > t.<br />
EXEMPEL 3.12<br />
I Exempel 3.11 studerades en s.k. exponentialfördelad slumpvariabel X<br />
<strong>med</strong> täthetsfunktion fX(x) = 2e −2x , x ≥ 0, <strong>och</strong> fördelningsfunktion<br />
FX(t) = 1 − e −2t . Från definitionen får vi således att intensiteten blir
Change language