STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 53 – # 57
3.4 KONTINUERLIGA SLUMPVARIABLER 53
förvissa oss om att det är en täthetsfunktion, dvs. att ∞
0 fX(x) dx = 1.
Men, ∞
0 2e−2x dx = [−e−2x ] ∞
0 = −0− (−1) = 1 vilket alltså gör att fX(·)
är en täthetsfunktion.
Låt oss beräkna P (X ≤ 1) samt P (0.3 < X ≤ 1.2). Vi beräknar först
fördelningsfunktionen.
FX(x) =
x
0
2e −2t dt = [−e −2t ] x
0 = −e−2x − (−1) = 1 − e −2x .
Från denna får vi P (X ≤ 1) = FX(1) = 1 − e −2 ≈ 0.865, samt P (0.3 <
X ≤ 1.2) = FX(1.2) − FX(0.3) ≈ 0.650.
[Bild saknas]
Figur 3.8. Täthetsfunktionen fX(x) = 2e −2x , x > 0.
Täthetsfunktionen för en slumpvariabel X är stor i områden där X relativt
sett har stor sannolikhet att anta värden och liten i områden där X troligen
inte antar sitt värde. I Figur 3.9 illustrerar vi en täthetsfunktion fX(x) och att
P (a < X < b) = b
a fX(x) dx = FX(b) − FX(a) är arean under täthetsfunktionen
i intervallet (a, b).
Det är dock inte så att täthetsfunktionens värde kan tolkas direkt som en
sannolikhet på samma sätt som man kan göra med sannolikhetsfunktionen
för en diskret slumpvariabel. I själva verket gäller för en kontinuerlig slumpvariabel
X att P (X = x) = 0 för all värden på x! Sannolikheten att en
kontinuerlig slumpvariabel antar ett bestämt enskilt värde är således 0 – detta
följer av att integralen över ett allt mindre intervall går mot 0. Det gäller ju
nämligen att P (X = x) ≤ P (x − h ≤ X ≤ x + h) = x+h
x−h fX(t) dt och denna
integral går mot 0 då h går mot 0.
Eftersom sannolikheten att en kontinuerlig slumpvariabel X antar ett enskilt
givet värde är 0 gäller det att man inte behöver skilja på ”