STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

52 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
och omvänt
fY (y) = F ′
Y (y) = lim
h→0
2007-10-08 – sida 52 – # 56
FY (y + h) − FY (y)
,
h
för de punkter där fY (·) är kontinuerlig. Det gäller även att
BEVIS
∞
fY (t) dt = 1.
−∞
Det första resultatet följer enkelt genom att använda definitionen av mängden
Ay = {−∞ < Y ≤ y} = {u; −∞ < Y (u) ≤ y}. Det andra
resultatet är en direkt följd av vad som brukar kallas integralkalkylens
huvudsats. Slutligen, att ∞
−∞ fY
(t) dt = 1 följer direkt av att
∞
−∞ fY (t) dt = limy→∞ FY (y) och för en fördelningsfunktion gäller alltid
att limy→∞ FY (y) = 1 (Sats 3.2, sidan 48).
ANMÄRKNING 3.7
Varje funktion f(x) som uppfyller att f(x) ≥ 0 för alla x och att
f(x) dx = 1, duger som täthetsfunktion till en slumpvariabel.
∞
−∞
ANMÄRKNING 3.8
Egentligen har vi i Definition 3.5 definierat en absolutkontinuerlig slumpvariabel.
Det finns nämligen, som vi kommer att visa i Avsnitt 3.6.2, fördelningsfunktioner
som är kontinuerliga, men inte kan framställas på formen
(3.1). Motsvarande slumpvariabler är så ovanliga att vi använder
den kortare benämningen kontinuerlig i stället för absolutkontinuerlig utan
risk för missförstånd.
EXEMPEL 3.11 (Exponentialfördelad slumpvariabel)
Låt X vara en slumpvariabel med täthetsfunktion fX(x) = 2e −2x , x > 0
(implicit är alltså fX(x) = 0 för x ≤ 0). Denna typ av slumpvariabel, som
vi kommer att studera närmare i Avsnitt 3.8.2, sägs vara exponentialfördelad.
Täthetsfunktionen illustreras i Figur 3.8. Vi kan till att börja med