STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

50 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
ÖVNING 3.10
2007-10-08 – sida 50 – # 54
Bevisa påstående 5 i Sats 3.2 på sidan 48, dvs. att P (a < X ≤ b) =
FX(b) − FX(a). (L)
3.4 Kontinuerliga slumpvariabler
Vi har fram till nu huvudsakligen behandlat diskreta slumpvariabler, dvs. variabler
som bara kan anta ett ändligt eller uppräkneligt oändligt antal värden
– typiskt alla eller delar av heltalen. I detta avsnitt behandlar vi den andra huvudtypen
slumpvariabler, nämligen de kontinuerliga. Dessa slumpvariabler
kan typiskt anta alla möjliga värden i något intervall på den reella talaxeln –
mer sällsynt förekommer variabler som kan anta värden i flera olika intervall
eller krångligare mängder.
EXEMPEL 3.9 (Barnvikt )
Låt Y beteckna vikten på ett nyfött barn. Då kan Y anta värden i ett kontinuum
av den reella positiva talaxeln (möjligen kan man snäva in intervallet
till mellan 0 och 10 kg eller liknande). Den uppmätta vikten Z är
däremot inte kontinuerlig – en elektronisk våg brukar begränsa noggrannheten
till g, varför vikten blir diskret (och heltalsvärd mätt i gram).
EXEMPEL 3.10 (Energi i molekyl)
Låt X beteckna energin i en viss molekyl i ett givet medium, då är X en
(icke-negativ) kontinuerlig slumpvariabel.
Liksom i övrig matematik motsvaras summor för diskreta objekt av integraler
för kontinuerliga objekt. Vi definierar därför en slumpvariabel som
kontinuerlig om följande villkor är uppfyllt.
DEFINITION 3.5 (KONTINUERLIG SLUMPVARIABEL OCH TÄTHETSFUNKTION)
En slumpvariabel X sägs vara kontinuerlig om det finns en funktion fX(x)
så att för ”alla” mängder A gäller
P (X ∈ A) = fX(t) dt.
A