STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

6. P (X > a) = 1 − FX(a),
7. P (X < a) = lim
h↓0 FX(a − h).
BEVIS
2007-10-08 – sida 49 – # 53
3.3 FÖRDELNINGSFUNKTIONER 49
Vi bevisar bara de två första påståendena. Låt At = {u; X(u) ≤ t}. Då följer
från Kolmogorovs axiomsystem och definitionen av fördelningsfunktionen
att FX(t) = P (X ≤ t) = P (At) och att 0 ≤ P (At) ≤ 1.
Tag nu x och y så att x < y. Då gäller att Ax ⊆ Ay; alla u för vilka
X(u) ≤ x har ju även X(u) ≤ y. Vi kan då dela upp Ay i två disjunkta delar
Ay = Ax ∪A(x,y], där A(x,y] = {u; x < X(u) ≤ y}. Enligt Kolmogorovs
axiomsystem gäller då
FX(y) = P (Ay) = P (Ax) + P (A(x,y]) ≥ P (Ax) = FX(x),
vilket bevisar att FX(·) är icke-avtagande. Högerkontinuiteten bevisar vi
för specialfallet att X är diskret och heltalsvärd – det allmänna fallet är lite
krångligare. Fixera t, inte nödvändigtvis heltal. Låt [t] vara heltalsdelen av
t (heltalet närmast ”nedanför”, t.ex. är [4.9] = 4). Då gäller att [t+h] = [t]
om h > 0 är tillräckligt liten. Men då gäller FX(t + h) = FX([t + h]) =
FX([t]) = FX(t) vilket visar att FX(·) är högerkontinuerlig.
ÖVNING 3.8
Låt Y vara en slumpvariabel med fördelningsfunktion
⎧
⎪⎨ 0 om t < 0,
FY (t) = t
⎪⎩
2 om 0 ≤ t ≤ 1,
1 om t > 1.
a) Rita upp FY (t).
b) Beräkna P (Y ≤ 0.5).
c) Beräkna P (0.5 < Y ≤ 0.9).
ÖVNING 3.9 (Barn i svenska hushåll, forts)
Bestäm fördelningsfunktionen för antalet barn i svenska hushåll som beskrevs
i Övning 3.4, sidan 45.