STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

48 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
2007-10-08 – sida 48 – # 52
EXEMPEL 3.8 (Tändstickor, fördelningsfunktion)
I Exempel 3.6, sidan 45, specificerades sannolikhetsfunktionen för antalet
tändstickor i en slumpvis vald tändsticksask.
Vi ger några exempel på beräkning av fördelningsfunktionens värden:
FZ(48) = P (Z ≤ 48) = pZ(47) + pZ(48) = 0.02 + 0.08 = 0.1,
FZ(49.4) = P (Z ≤ 49.4) = pZ(47) + pz(48) + pZ(49) = 0.02 + 0.08 +
0.20 = 0.30,
FZ(44) = P (Z ≤ 44) = 0 och FZ(58.2) = P (Z ≤ 58.2) =
53
z=47 pZ(z) = 0.02 + 0.08 + 0.2 + 0.4 + 0.2 + 0.08 + 0.02 = 1.
Fördelningsfunktion visas i Figur 3.6. Som synes i figuren gör fördelningsfunktionen
hopp i de möjliga observationspunkterna och ligger konstant
däremellan (till skillnad från sannolikhetsfunktionen som är noll utom
i observationspunkterna).
[Bild saknas]
Figur 3.6. Fördelningsfunktionen FZ(z) för Z definierad i Exempel 3.6, sidan 45.
Några viktiga egenskaper hos fördelningsfunktioner som följer direkt från
sannolikhetsaxiomen (2.2) sammanfattas i följande sats.
SATS 3.2 (EGENSKAPER HOS FÖRDELNINGSFUNKTIONER)
Låt FX(t) vara fördelningsfunktionen för en slumpvariabel X. Då gäller
1. 0 ≤ FX(t) ≤ 1, ∀t,
2. t ↦→ FX(t) är icke-avtagande och högerkontinuerlig,
3. lim
t→−∞ FX(t) = 0,
4. lim
t→∞ FX(t) = 1,
5. P (a < X ≤ b) = FX(b) − FX(a),