STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

46 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
ÖVNING 3.5
2007-10-08 – sida 46 – # 50
Låt X och Y vara slumpvariabler som bägge kan anta värdena 1,2,3,4.
Antag att pX(1) = 0.2, pX(2) = 0.3 och pX(3) = 0.4, respektive pY (1) =
0.2c, pY (2) = 0.3c, pY (3) = 0.4c, och pY (4) = 0.5c.
a) Bestäm pX(4), samt P (X ≤ 2).
b) Bestäm c i sannolikhetsfunktionen för Y , samt beräkna P (Y > 2).
ÖVNING 3.6 (Tändstickor, forts)
Beräkna P (Z ≤ 49) och P (Z > 51) i Exempel 3.6, sidan 45.
ÖVNING 3.7
En viss sorts apparat kodar en DNA-sekvens av given längd felaktigt (i
någon position) med sannolikheten 0.12. Antag att 3 sekvenser av denna
längd kodas av olika apparater (av ovan nämnda sort). Låt X vara antalet
bland de 3 kodade sekvenserna som kodas helt korrekt. Vilka observationsvärden
kan X anta? Härled pX(k) för dessa k.
3.3 Fördelningsfunktioner
Ganska ofta vill man för slumpvariabler beräkna sannolikheter på formen
P (a < X ≤ b), P (X ≤ a), P (X > a) eller liknande. Om slumpvariabeln
är diskret kan man göra detta med hjälp av sannolikhetsfunktionen som beskrivits
tidigare. En alternativ metod, som också är mycket användbar för
kontinuerliga slumpvariabler, är att införa begreppet fördelningsfunktion och
uttrycka slumpstrukturen hos slumpvariabeln (inkl. ovan nämnda sannolikheter)
med hjälp av denna funktion.
DEFINITION 3.4 (FÖRDELNINGSFUNKTION)
Fördelningsfunktionen FX(t) för en slumpvariabel X definieras av FX(t) =
P (X ≤ t), −∞ < t < ∞.