STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

44 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
2007-10-08 – sida 44 – # 48
Bild saknas
Figur 3.3. Sannolikhetsfunktionen pX(k) för kast med en symmetrisk sexsidig
tärning.
SATS 3.1
För en diskret slumpvariabel X gäller
1. 0 ≤ pX(k) ≤ 1, ∀k,
2.
k pX(k) = 1,
3. P (a ≤ X ≤ b) =
{k;a≤k≤b} pX(k),
4. P (X ≤ a) =
{k;k≤a} pX(k),
5. P (X > a) =
{k;k>a} pX(k) = 1 −
{k;k≤a} pX(k) = 1 − P (X ≤ a).
BEVIS
Låt Ak = {u; X(u) = k}, dvs. Ak är den mängd i utfallsrummet för vilken
slumpvariabeln antar värdet k. Då gäller att P (X = k) = P (A), och enligt
Kolmogorovs axiomsystem att 0 ≤ P (A) ≤ 1 vilket bevisar det första
påståendet.
Vidare gäller att A0, A1, . . . är oförenliga (X(u) antar ju bara ett värde
för varje u) och tillsammans utgör de hela utfallsrummet (vi antar att X
är heltalsvärd – i annat fall gäller utsagan, men för de observationsvärden
X kan anta). Således följer av Kolmogorovs axiomsystem (2.2) att
k pX(k) =
k P (Ak) = P (Ω) = 1.
Händelsen {a ≤ X ≤ b} är identisk med händelsen ∪{k;a≤k≤b}Ak eftersom
det är just dessa händelser Ak som gör att a ≤ X ≤ b. Eftersom
dessa händelser är oförenliga gäller enligt Kolmogorovs axiomsystem alltså
P (a ≤ X ≤ b) = P (∪{k;a≤k≤b}Ak) =
{k;a≤k≤b} pX(k).