STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 43 – # 47
DEFINITION 3.2 (DISKRET SLUMPVARIABEL)
3.2 DISKRETA SLUMPVARIABLER 43
En slumpvariabel X är diskret om den endast kan anta ändligt eller uppräkneligt
oändligt antal värden x1, x2, . . . .
Antag att vi intresserar oss för en viss diskret slumpvariabel X. Ett sätt att
beskriva slumpstrukturen hos slumpvariabeln är med den s.k. sannolikhetsfunktionen.
DEFINITION 3.3 (SANNOLIKHETSFUNKTION)
Sannolikhetsfunktionen pX(·) för en diskret slumpvariabel X definieras av
pX(x) = P (X = x) = P (X antar värdet k), x = x1, x2, . . . .
ANMÄRKNING 3.1
I de allra flesta fallen är observationsvärdena för en diskret slumpvariabel
heltal varför vi ofta slarvar lite och skriver pX(k) (där k syftar på heltal)
även när vi pratar allmänt om diskreta slumpvariabler.
EXEMPEL 3.5 (Tärningskast )
Låt X beteckna antalet prickar vid tärningskast med en symmetrisk sexsidig
tärning. Då gäller att X har sannolikhetsfunktion pX(x) = 1/6 för
x = 1, . . . , 6 och pX(x) = 0 för alla andra x. Sannolikhetsfunktionen
illustreras i Figur 3.3. Observera att pX(x) = 0 för alla x utom heltalen
1,2,. . . ,6.
ANMÄRKNING 3.2
När man definierar sannolikhetsfunktioner för diskreta slumpvariabler
brukar man oftast bara göra det för värden som har positiv sannolikhet.
Implicit betyder det att alla övriga värden har sannolikhet 0. Samma sak
gäller för täthetsfunktioner för kontinuerliga slumpvariabler som definieras
i Avsnitt 3.4.
Några viktiga egenskaper hos sannolikhetsfunktioner, som följer direkt
från Kolmogorovs axiomsystem (2.2) sidan 6, formulerar vi i följande sats.