STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 41 – # 45
3.1 DEFINITION AV SLUMPVARIABEL 41
Ω = {(1, 1), (1, 2), . . . , (6, 6)} och funktionen Z adderar de två talen (dvs.
antal prickar) i utfallet, t.ex. är Z((3, 2)) = 5. Man inser att flera olika utfall
kan ge samma värde på Z – det gäller ju t.ex att Z((1, 4)) = 5.
I Figur 3.2 illustreras utfallsrummet Ω och funktionen Z som för varje
utfall ger ett heltal mellan 2 och 12. Varje utfall har samma sannolikhet
1/36 eftersom tärningskasten är oberoende och varje enkastsutfall har
sannolikhet 1/6. Däremot har slumpvariabelns värden inte samma sannolikheter
eftersom alla observationsvärden inte svarar mot lika många utfall.
Om vi t.ex. vill räkna ut sannolikheten att få minst summan 10, dvs.
P (Z ≥ 10), kan vi göra detta direkt genom att räkna hur många utfall som
ger summan 10, 11 respektive 12: P (Z ≥ 10) = P (Z = 10) + P (Z =
11) + P (Z = 12) = 3/36 + 2/36 + 1/36 = 6/36 = 1/6. Ett alternativ
är att först identifiera vilka utfall u i Ω som uppfyller Z(u) ≥ 10:
B = {u ∈ Ω; Z(u) ≥ 10} = {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)},
och eftersom vi har likformig sannolikhetsfördelning på utfallsrummet
gäller att sannolikheten för en händelse är lika med antalet utfall i händelsen
dividerat med antalet händelser totalt: P (B) = 6/36 = 1/6.
Bild saknas
Figur 3.2. Utfallsrummet Ω för kast med två tärningar och slumpvariabeln Z som
anger ögonsumman för respektive utfall. De olika utfallen med given summa Z = k
har ringats in.
EXEMPEL 3.4 (DNA-sekvensering)
Tre apparater sekvenserar DNA-kod under en timme vardera. Hur mycket
kod (mäts i antal ”base pairs”, bp) som hinner sekvenseras för var och
en av apparaterna är slumpmässigt. Ett utfall av slumpexperimentet blir
då tre heltalsvärda tal u = (u1, u2, u3) (u1 är mängd sekvenserad kod av