STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

40 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
DEFINITION 3.1 (SLUMPVARIABEL)
2007-10-08 – sida 40 – # 44
En slumpvariabel (alternativt stokastisk variabel) X(u) är en reellvärd
funktion definierad på utfallsrummet, X : Ω ↦−→ R. När slumpförsöket
genomförts och ett utfall erhållits så sägs funktionens värde för utfallet vara
en observation av slumpvariabeln. (Se Figur 3.1 för en illustration av en
slumpvariabel och dess utfallsrum.)
Ω
u
X(u)
Figur 3.1. Illustration av en slumpvariabel X och tillhörande utfallsrum Ω.
Slumpvariabler betecknas oftast med stora bokstäver: X, Y , Z och motsvarande
observationer med små: x, y, z. När det inte är explicit nödvändigt
utelämnas ofta funktionsargumentet och man skriver X i stället för X(u).
Vi vill ofta kunna räkna ut sannolikheter av typen P (X ∈ A) där A kan
vara en eller flera punkter, ett intervall eller någon annan delmängd av R.
Rent formellt innebär detta att räkna ut sannolikheten för den händelsemängd
i utfallsrummet Ω för vilken slumpvariabeln antar värden i A, dvs.
P ({u ∈ Ω; X(u) ∈ A}), men oftast skriver man kort och gott P (X ∈ A).
I bägge exemplen ovan var slumpvariabeln detsamma som själva utfallet
av slumpexperimentet, på samma sätt som utfallsrummet för tärningskast är
Ω = {1, 2, . . . , 6} och slumpvariabeln X som anger antalet prickar är identitetsfunktion,
dvs. X(1) = 1, X(2) = 2 osv. Så behöver dock inte alltid vara
fallet vilket visas med följande två exempel.
EXEMPEL 3.3 (Kast med två tärningar )
Betrakta försöket att kasta två tärningar och låt vår slumpvariabel Z definieras
som summan av antalet prickar på de två tärningarna. Utfallsrummet
består av de olika utfallen som tärningskasten kan resultera i:
R