STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 35 – # 39
2.7 BLANDADE PROBLEM 35
38–40. Vid ordinarie tentamenstillfällen brukar betygen fördela sig ungefär
enligt frekvenserna: F: 20%, Fx: 10%, E: 10%, D: 15% C: 20% B:
15%, A: 10%. En student väljs slumpmässigt och studentens tentamensresultet
vid det ordinarie tentamenstillfället noteras.
a) Bestäm utfallsrummet Ω.
b) Definiera händelser för vart och ett av betygen och ange sannolikheten
för respektive händelse.
205. En duktig bågskytt träffar innersta ringen med sannolikheten 0.9 i varje
försök och försöken kan anses vara oberoende. Hon bestämmer sig för att
avsluta dagens träning men vill först sätta en skott i innersta ringen. Låt
slumpexperimentet ange hur många försök hon behöver.
a) Bestäm utfallsrummet Ω.
b) Beräkna sannolikheter för att hon behöver 1, 2 respektive 3 försök.
c) Vad är sannolikheten att hon behöver minst 4 försök?
206. Antag att händelsen A är en delmängd av händelsen B, dvs A ⊂ B. Visa
att detta medför att P (A) ≤ P (B). (L)
207. Antag att en häst river olika hinder oberoende av varandra, och att varje
hinder rivs med sannolikheten 0.2. Beräkna sannolikheten att hästen river
för första gången vid hinder nummer
a) 1,
b) 2,
c) 5.
208. Ett lotteri har tre sorters vinster: förstapris som man vinner med sannolikhet
0.001, andrapris som man vinner med sannolikhet 0.01, och tredjepris
som man vinner med sannolikhet 0.1. Man kan inte vinna flera priser på
samma lott. Antag att en person vann på lotteriet. Beräkna sannolikheten
att personen vann förstapriset.
209. En viss komponent i ett flygplan är mycket viktigt för flygplanets funktion.
Vid konstruktion väljer man mellan att ha två ”parallella” sådana
där det räcker att en av de två fungerar, eller bara ha en komponent men
med högre kvalitet. Antag att komponenter blir trasiga med sannolikheten
p = 0.0001 oberoende av varandra och att den högkvalitativa komponenten
minskar felsannolikheten med en faktor 100, dvs. att felsannolikheten
då blir pH = 0.000 001. Vilken av de två varianterna ger minst risk för
att fel uppstår? Vilken relation skall gälla mellan felsannolikheterna p och
pH för att parallellkoppling skall vara bättre respektive sämre?
210. (Hellre fria än fälla)
De flesta rättssystem bygger på principen ”hellre fria än fälla”. Likväl är