STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 33 – # 37
2.6 SANNOLIKHETSMÅTT 33
Låt oss illustrera detta med ett enkelt exempel. Antag att vi drar tre kort
slumpmässigt ur en kortlek och vill veta sannolikheten att alla är spader.
Sannolikheten kan beräknas kombinatoriskt som
13 3
52 3
= 286
22 100
= 11
850 .
Ett alternativ är att utnyttja upprepad betingning.
Inför händelserna Ai = ”kort nummer i är en spader”. Vi vill då veta
P (A1 ∩ A2 ∩ A3).
Låt Q1(A) := P (A | A1) och Q2(A) := Q1(A | A2). Då gäller
P (A1 ∩ A2 ∩ A3) = P (A1) · P (A2 ∩ A3 | A1)
= P (A1) · Q1(A2 ∩ A3)
= P (A1) · Q1(A2) · Q1(A3 | A2)
= P (A1) · Q1(A2) · Q2(A3)
= P (A1) · P (A2 | A1) · P (A3 | A1 ∩ A2).
Detta kan man också få fram direkt genom att göra betingningen i en
annan ordning.
P (A1 ∩ A2 ∩ A3) = P (A1 ∩ A2) · P (A3 | A1 ∩ A2)
= P (A1) · P (A2 | A1) · P (A3 | A1 ∩ A2).
Numeriskt får vi P (A1) = 13/52 = 1/4, P (A2 | A1) = 12/51 = 4/17
och P (A3 | A1 ∩ A2) = 11/50, så att den sökta sannolikheten blir
P (A1 ∩ A2 ∩ A3) = 1 4 11 11
· · =
4 17 50 850
som tidigare.
ÖVNING 2.32
Utnyttja upprepad betingning för att beräkna sannolikheten att, när man
drar tre kort ur en kortlek, få ett ess, en kung och en dam
a) i nämnd ordning,
b) i godtycklig ordning.