STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 32 – # 36
32 KAPITEL 2 SANNOLIKHETSTEORINS GRUNDER
3) Låt A och B vara godtyckliga händelser med A ∩ B = ∅. Visa att
Q(A ∪ B) = Q(A) + Q(B).
Q(A ∪ B) = P (A ∪ B | A1) =
= P ((A ∩ A1) ∪ (B ∩ A1))
P (A1)
P ((A ∪ B) ∩ A1)
P (A1)
= P (A ∩ A1) + P (B ∩ A1)
P (A1)
= P (A | A1) + P (B | A1) = Q(A) + Q(B).
Här har vi utnyttjat att A ∩ B = ∅ medför att (A ∩ A1) ∩ (B ∩ A1) =
A ∩ B ∩ A1 = ∅.
Även villkor 3’) i Definition 2.2 kan på samma sätt visas vara uppfyllt.
Genom att kombinera satsen med Sats 2.1 på sidan 8 får vi följande resultat.
FÖLJDSATS 2.1
Antag att P (A1) > 0 och låt A och B vara godtyckliga händelser. Då gäller
(i) P (A c | A1) = 1 − P (A | A1),
(ii) P (A ∪ B | A1) = P (A | A1) + P (B | A1) − P (A ∩ B | A1).
EXEMPEL 2.16 (Upprepad betingning)
Med hjälp av ovanstående kan vi också reda ut vad som gäller vid upprepad
betingning. Eftersom Q1(A) = P (A | A1) är ett sannolikhetsmått kan
vi, för A2 sådan att Q1(A2) > 0 definiera
Då gäller att
Q2(A) := Q1(A | A2) = Q1(A ∩ A2)
.
Q1(A2)
Q2(A) = Q1(A | A2) = Q1(A ∩ A2)
Q1(A2) = P (A ∩ A2 | A1)
P (A2 | A1)
= P (A ∩ A2 ∩ A1)/P (A1)
P (A2 ∩ A1)/P (A1) = P (A ∩ A2 ∩ A1)
P (A2 ∩ A1)
= P (A | A1 ∩ A2).
Observera att Q1(A2) > 0 medför att P (A2 ∩ A1) > 0 eftersom Q1(A2) =
P (A2 ∩ A1)/P (A1).