STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar
STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar
STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
DEFINITION 2.7 (SANNOLIKHETSMÅTT)<br />
2007-10-08 – sida 31 – # 35<br />
2.6 SANNOLIKHETSMÅTT 31<br />
En funktion P definierad på delmängder till en grundmängd Ω som uppfyller<br />
Kolmogorovs axiomsystem sägs vara ett sannolikhetsmått på Ω.<br />
För varje sannolikhetsmått gäller de resultat som vi härlett utifrån axiomen,<br />
t.ex. komplementsatsen P (A c ) = 1 − P (A) <strong>och</strong> additionssatsen P (A ∪ B) =<br />
P (A) + P (B) − P (A ∩ B).<br />
Vi kan utnyttja detta för att verifiera några egenskaper hos betingade<br />
sannolikheter som vi faktiskt redan utnyttjat.<br />
SATS 2.8<br />
Låt P vara ett sannolikhetsmått på Ω <strong>och</strong> A1 vara en given händelse <strong>med</strong><br />
P (A1) > 0. Då är Q, som för varje händelse A definieras som<br />
Q(A) := P (A | A1) =<br />
ett sannolikhetsmått på Ω.<br />
BEVIS<br />
P (A ∩ A1)<br />
,<br />
P (A1)<br />
Vi vet att P är ett sannolikhetsmått, dvs. uppfyller axiomen, <strong>och</strong> vi ska<br />
visa att även Q gör det.<br />
1) Visa att Q(A) ≥ 0 för alla A ⊂ Ω.<br />
Q(A) = P (A | A1) =<br />
P (A ∩ A1)<br />
P (A1)<br />
≥ 0,<br />
eftersom P (A ∩ A1) ≥ 0 enligt Axiom 1 <strong>och</strong> P (A1) enligt satsens antagande.<br />
2) Visa att Q(Ω) = 1.<br />
Q(Ω) = P (Ω | A1) =<br />
P (Ω ∩ A1)<br />
P (A1)<br />
P (A1)<br />
= = 1.<br />
P (A1)
Change language